Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz

Question Answer
1

Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
A) \frac{6}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{108}}{3}
B) \frac{4}{\sqrt{5}-2} - \frac{4}{\sqrt{5}+2}
a = -\sqrt{3}, b = -\sqrt[3]{2} ve c = -\sqrt[4]{5} sayılarını küçükten büyüğe doğru sıralayınız.
3\sqrt{96} + 2\sqrt{150} = a\sqrt{24} olduğuna göre a değerini bulunuz.

Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.1024×768 48.5 KB

2

Köklü Sayılarda Dört İşlem, Eşlenik ve Sıralama

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Köklü sayılarda toplama ve çıkarma için kök derecesi ve kök içi eşitlenir (x\sqrt{k} + y\sqrt{k} = (x+y)\sqrt{k}). Paydadaki kökü yok etmek için eşlenikle çarpılır ((a-b)(a+b) = a^2 - b^2). Farklı dereceden kökleri sıralamak için kök derecelerinin en küçük ortak katı (EKOK) alınarak üsler eşitlenir; negatif sayılarda mutlak değeri büyük olan sayı daha küçüktür.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Soru 4 — Köklü İfadelerde Sadeleştirme ve Eşlenik

  • a) Paydayı rasyonel yapmak için \sqrt{3} ile genişletelim ve \sqrt{108} sayısını 6\sqrt{3} olarak kök dışına çıkaralım:
\frac{6\sqrt{3}}{3} + \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}
  • b) Paydaları eşlenikleriyle ((\sqrt{5}+2) ve (\sqrt{5}-2)) çarpalım:
\frac{4(\sqrt{5}+2) - 4(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \frac{4\sqrt{5} + 8 - 4\sqrt{5} + 8}{5 - 4} = \frac{16}{1} = 16

Soru 5 — Negatif Köklü Sayılarda Sıralama
Kök dereceleri 2, 3 ve 4’tür. \text{EKOK}(2, 3, 4) = 12 olduğundan sayıların 12. kuvvetlerinin mutlak değerini inceleyelim:

  • |a|^{12} = (\sqrt{3})^{12} = 3^6 = 729
  • |b|^{12} = (\sqrt[3]{2})^{12} = 2^4 = 16
  • |c|^{12} = (\sqrt[4]{5})^{12} = 5^3 = 125

Pozitif hallerine göre sıralama |b| < |c| < |a| olur. Sayılar negatif olduğundan eşitsizlik yön değiştirir:

a < c < b \quad \left(-\sqrt{3} < -\sqrt[4]{5} < -\sqrt[3]{2}\right)

Soru 6 — Kök İçi Eşitleme ile Bilinmeyeni Bulma
Kök içlerindeki sayıları 6 çarpanı kalacak şekilde kök dışına çıkaralım:

  • 3\sqrt{96} = 3\sqrt{16 \cdot 6} = 3 \cdot 4\sqrt{6} = 12\sqrt{6}
  • 2\sqrt{150} = 2\sqrt{25 \cdot 6} = 2 \cdot 5\sqrt{6} = 10\sqrt{6}
  • a\sqrt{24} = a\sqrt{4 \cdot 6} = 2a\sqrt{6}
12\sqrt{6} + 10\sqrt{6} = 2a\sqrt{6} \implies 22\sqrt{6} = 2a\sqrt{6} \implies 2a = 22 \implies a = 11

Soru 7 — Köklü Sayıyı Üslü Sayıya Dönüştürme
İfadeleri 5 tabanında rasyonel üs olarak yazalım:

\frac{5^{1/3} \cdot 5^{1/2}}{5^{1/4}} = 5^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}} = 5^{\frac{4+6-3}{12}} = 5^{7/12}

Eşitliğin sağ tarafı:

\sqrt{(5^3)^{7x}} = 5^{\frac{21x}{2}}

Tabanlar eşit olduğundan üsler birbirine eşitlenir:

\frac{7}{12} = \frac{21x}{2} \implies 3x = \frac{1}{6} \implies x = \frac{1}{18}

:white_check_mark: CEVAP:

  • 4-a) 4\sqrt{3}
  • 4-b) 16
  • 5) a < c < b
  • 6) a = 11
  • 7) x = \frac{1}{18}

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kök dereceleri farklı olan sayıları sıralarken kök derecelerini eşitlemek en pratik yoldur. Negatif sayılarda mutlak değerce büyük olan sayının sıfırdan daha uzak (en küçük) olduğunu unutmamak çeldiricilere düşmeyi engeller.

3

@Akademik_Rehber 5 de 12 nerden buldun

4

Soru 5’teki 12 sayısı, köklerin derecelerinin en küçük ortak katından (EKOK) gelir:

  1. a = -\sqrt{3} ifadesinde yazılmayan gizli kök derecesi 2’dir: -\sqrt[2]{3}
  2. b = -\sqrt[3]{2} ifadesinde kök derecesi 3’tür.
  3. c = -\sqrt[4]{5} ifadesinde kök derecesi 4’tür.

Kök dereceleri birbirinden farklı olan sayıları birbiriyle kıyaslayabilmek için kök derecelerini eşitlememiz gerekir. Bunun için 2, 3 ve 4 sayılarının EKOK’u alınır:

\text{EKOK}(2, 3, 4) = 12

Kökleri 12. derecede birleştirebilmek için sayıların 12. kuvveti incelenmiştir:

  • (\sqrt[2]{3})^{12} = 3^{\frac{12}{2}} = 3^6 = 729
  • (\sqrt[3]{2})^{12} = 2^{\frac{12}{3}} = 2^4 = 16
  • (\sqrt[4]{5})^{12} = 5^{\frac{12}{4}} = 5^3 = 125
5

@Akademik_Rehber 7 den emin misin

6

Evet, adım adım tekrar kontrol edelim. Görseldeki ifadeye göre çözüm matematiksel olarak kesinlikle doğrudur.

İşlemi parça parça, en ufak ayrıntısına kadar birlikte inceleyelim:

1. Eşitliğin Sol Tarafı

İfadeleri rasyonel üs biçiminde yazalım:

  • \sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}
  • \sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}
  • \sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{4}}

Pay kısmındaki çarpma işlemi (üsler toplanır):

5^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{3} + \frac{1}{2}} = 5^{\frac{2+3}{6}} = 5^{\frac{5}{6}}

Paydaya bölme işlemi (payın üssünden paydanın üssü çıkarılır):

5^{\frac{5}{6}} \div 5^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{5}{6} - \frac{1}{4}}

Paydaları 12’de eşitleyelim:

\frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{7}{12}

Dolayısıyla sol tarafın sonucu:

5^{\frac{7}{12}}

2. Eşitliğin Sağ Tarafı: \sqrt{125^{7x}}

  • 125 = 5^3 olduğuna göre:
125^{7x} = (5^3)^{7x} = 5^{3 \cdot 7x} = 5^{21x}
  • Karekökün derecesi 2 olduğundan kök dışına üslü olarak şöyle çıkar:
\sqrt{5^{21x}} = 5^{\frac{21x}{2}}

3. Üslerin Eşitlenmesi

Tabanlar (5) eşit olduğuna göre üsler de eşit olmalıdır:

\frac{7}{12} = \frac{21x}{2}

Her iki tarafı 7’ye bölelim:

\frac{1}{12} = \frac{3x}{2}

İçler dışlar çarpımı yapalım:

12 \cdot 3x = 2 \implies 36x = 2 \implies x = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}

:pushpin: Olası Farklı Durum (Kitaptaki Baskı Hatası İhtimali):
Eğer elindeki cevap anahtarında farklı bir sonuç varsa, soruda şu iki dizgi hatasından biri yapılmış olabilir:

  1. Üsteki sayı 7x değil de sadece x ise (\sqrt{125^x}):
    \frac{7}{12} = \frac{3x}{2} \implies 36x = 14 \implies x = \frac{7}{18}
  2. Kökün derecesi karekök değil de başka bir derece ise.

Ancak fotoğrafta yazılı olan \mathbf{\sqrt{125^{7x}}} ifadesine göre doğru cevap net olarak x = \frac{1}{18}'dir. Cevap anahtarında farklı bir değer görünüyorsa belirtirsen, sorudaki olası baskı hatasını da netleştirebiliriz.