Soru:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını
bulunuz.
(e)(3/- 2/7) da
(b)
(e) (2va +9a) de
(a)
(c)
eze1
da
dæ
ULU 1
Soru Fotoğrafı:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Güç fonksiyonlarının integrali: \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
- Sabit çarpan integrale dışarı çıkarılır.
- Kök ve küpkök ifadeleri kuvvet şeklinde yazılır: \sqrt{x} = x^{1/2}, \sqrt[3]{x} = x^{1/3}, vb.
(a) \int \left(3\sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x} \right) dx
Adım 1 — İfadeyi kuvvet olarak yaz
3 \sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}}, \quad 2 \sqrt[3]{x} = 2x^{\frac{1}{3}}
Adım 2 — İntegrali ayır
\int \left( 3x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{3}} \right) dx = 3 \int x^{\frac{1}{2}} dx - 2 \int x^{\frac{1}{3}} dx
Adım 3 — Her terimi integral formülüne uygula
3 \times \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} - 2 \times \frac{x^{\frac{1}{3} +1}}{\frac{1}{3} +1} + C
= 3 \times \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2 \times \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C
Adım 4 — Paydaları sadeleştir
= 3 \times \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \times \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C = 2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C
(b) \int \left(\sqrt{x^3} - 5 \sqrt[3]{x^2} \right) dx
Adım 1 — İfadeyi kuvvet olarak yaz
\sqrt{x^3} = (x^3)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}, \quad 5 \sqrt[3]{x^2} = 5 x^{\frac{2}{3}}
Adım 2 — İntegralleri ayır
\int x^{\frac{3}{2}} dx - 5 \int x^{\frac{2}{3}} dx
Adım 3 — İntegral formülünü uygula
\frac{x^{\frac{3}{2} +1}}{\frac{3}{2}+1} - 5 \times \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + C
= \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} - 5 \times \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C
Adım 4 — Sadeleştir
= \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 5 \times \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{5}{3}} + C
(c) \int \left(2 \sqrt{x^7} + 9 \sqrt[5]{x^4} \right) dx
Adım 1 — İfadeyi kuvvet olarak yaz
2 \sqrt{x^7} = 2 (x^7)^{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{7}{2}}, \quad 9 \sqrt[5]{x^4} = 9 x^{\frac{4}{5}}
Adım 2 — İntegralleri ayır
2 \int x^{\frac{7}{2}} dx + 9 \int x^{\frac{4}{5}} dx
Adım 3 — İntegral formülünü uygula
2 \times \frac{x^{\frac{7}{2}+1}}{\frac{7}{2}+1} + 9 \times \frac{x^{\frac{4}{5}+1}}{\frac{4}{5}+1} + C = 2 \times \frac{x^{\frac{9}{2}}}{\frac{9}{2}} + 9 \times \frac{x^{\frac{9}{5}}}{\frac{9}{5}} + C
Adım 4 — Sadeleştir
= 2 \times \frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + 9 \times \frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C = \frac{4}{9} x^{\frac{9}{2}} + 5 x^{\frac{9}{5}} + C
CEVAP:
\begin{cases}
(a) \quad 2x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C \\
(b) \quad \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{5}{3}} + C \\
(c) \quad \frac{4}{9} x^{\frac{9}{2}} + 5 x^{\frac{9}{5}} + C
\end{cases}
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Güç kuralı: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C ( n\neq -1 )
- Sabit çarpan kuralı: \displaystyle \int a\cdot f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx
- Temel Teorem (belirli integral için): \displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a) ( F'=f )
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Soru 2 (a)
Kurulum:
\int \bigl(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}\bigr)\,dx
Birinci terim:
3\int x^{1/2}\,dx
=3\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}
=3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}
=3\cdot\frac{2}{3}\,x^{3/2}
=2\,x^{3/2}
İkinci terim:
-2\int x^{1/3}\,dx
=-2\cdot\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}
=-2\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}
=-2\cdot\frac{3}{4}\,x^{4/3}
=-\tfrac{3}{2}\,x^{4/3}
Adım 2 — Soru 2 (b)
Kurulum:
\int\bigl(\sqrt{x^{3}}-5\sqrt[3]{x^{2}}\bigr)\,dx
Birinci terim:
\int x^{3/2}\,dx
=\frac{x^{3/2+1}}{3/2+1}
=\frac{x^{5/2}}{5/2}
=\frac{2}{5}\,x^{5/2}
İkinci terim:
-5\int x^{2/3}\,dx
=-5\cdot\frac{x^{2/3+1}}{2/3+1}
=-5\cdot\frac{x^{5/3}}{5/3}
=-5\cdot\frac{3}{5}\,x^{5/3}
=-3\,x^{5/3}
Adım 3 — Soru 2 (c)
Kurulum:
\int\bigl(2\sqrt{x^{7}}+9\sqrt[5]{x^{4}}\bigr)\,dx
Birinci terim:
2\int x^{7/2}\,dx
=2\cdot\frac{x^{7/2+1}}{7/2+1}
=2\cdot\frac{x^{9/2}}{9/2}
=2\cdot\frac{2}{9}\,x^{9/2}
=\frac{4}{9}\,x^{9/2}
İkinci terim:
9\int x^{4/5}\,dx
=9\cdot\frac{x^{4/5+1}}{4/5+1}
=9\cdot\frac{x^{9/5}}{9/5}
=9\cdot\frac{5}{9}\,x^{9/5}
=5\,x^{9/5}
Adım 4 — Soru 3 (a) (belirli integral)
Kurulum:
\int_{1}^{2} x^{\pi-1}\,dx
=\left.\frac{x^{\pi-1+1}}{\pi-1+1}\right|_{1}^{2}
=\left.\frac{x^{\pi}}{\pi}\right|_{1}^{2}
=\frac{2^{\pi}}{\pi}-\frac{1^{\pi}}{\pi}
Adım 5 — Soru 3 (b) (belirli integral)
Kurulum:
\int_{2}^{3} e\,x^{e-1}\,dx
Sabit çarpanı ayır:
=e\int_{2}^{3} x^{e-1}\,dx
=e\left.\frac{x^{e-1+1}}{e-1+1}\right|_{2}^{3}
=e\left.\frac{x^{e}}{e}\right|_{2}^{3}
=\left.x^{e}\right|_{2}^{3}
=3^{e}-2^{e}
Adım 6 — Soru 3 (c) (belirli integral)
Kurulum:
\int_{0}^{1} x^{\pi^{e}}\,dx
=\left.\frac{x^{\pi^{e}+1}}{\pi^{e}+1}\right|_{0}^{1}
=\frac{1^{\pi^{e}+1}}{\pi^{e}+1}-\frac{0^{\pi^{e}+1}}{\pi^{e}+1}
=\frac{1}{\pi^{e}+1}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
-
Soru 2 (a): \displaystyle 2\,x^{3/2}-\tfrac{3}{2}\,x^{4/3}+C
-
Soru 2 (b): \displaystyle \tfrac{2}{5}\,x^{5/2}-3\,x^{5/3}+C
-
Soru 2 (c): \displaystyle \tfrac{4}{9}\,x^{9/2}+5\,x^{9/5}+C
-
Soru 3 (a): \displaystyle \int_{1}^{2} x^{\pi-1}\,dx=\frac{2^{\pi}-1}{\pi}
-
Soru 3 (b): \displaystyle \int_{2}^{3} e\,x^{e-1}\,dx=3^{e}-2^{e}
-
Soru 3 (c): \displaystyle \int_{0}^{1} x^{\pi^{e}}\,dx=\frac{1}{\pi^{e}+1}
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Güç kuralı
- Tanım: Üstel fonksiyonların integrali güç kuralıyla hesaplanır.
- Bu problemde: Tüm terimler x^{n} biçiminde yazılarak bu kural uygulandı.
2. Sabit çarpan
- Tanım: Sabit çarpan integrali dışarı alınır.
- Bu problemde: Katsayılar integrallerden çıkarıldı (ör. 3, -2, e).
SIK YAPILAN HATALAR:
Üsleri yanlış dönüştürme
- Yanlış: \sqrt{x^{3}}=x^{3/2} yerine x^{3/1} yazmak.
- Doğru: \sqrt{x^{3}}=x^{3/2}
- Neden yanlış: Köklü ifadeler üslü ifadeye doğru dönüştürülmelidir.
- Düzeltme: Karekök = 1/2, küpkök = 1/3, vb. kullan.
Belirsiz sabitleri atlamak
- Yanlış: Belirsiz integrallerde +C eklememek.
- Doğru: Her belirsiz integralin sonucuna +C eklenmelidir.
- Neden yanlış: İntegrasyon sabitini unutmak çözümü eksik bırakır.
- Düzeltme: Sonuca her zaman +C ekleyin.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!