Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını - Soru #647172

YKS TYT
1

Soru:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını
bulunuz.
(a)(3/a- 2/) de
() /(V- 5V) dr
e) (2vs+9Na) de

(a)
(b)
ea- da
II 1

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli643×1024 47.8 KB

2

Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Güç fonksiyonlarının integrali: \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
  • Sabit katsayının entegralde dışarı alınması
  • Karekök ve köklü ifadelerin üs olarak yazılması: \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}, \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}

(a) \int (3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}) \, dx

Adım 1 — İfadeleri üs şeklinde yaz

3\sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}}, \quad 2\sqrt[3]{x} = 2x^{\frac{1}{3}}

Adım 2 — Her terimin integralini al

\int 3x^{\frac{1}{2}} dx - \int 2x^{\frac{1}{3}} dx = 3 \int x^{\frac{1}{2}} dx - 2 \int x^{\frac{1}{3}} dx
= 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} - 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C

Adım 3 — Üsleri topla ve işlemi yap

= 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C
= 2x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C

(b) \int \left(\sqrt{x^3} - 5 \sqrt[3]{x^2}\right) dx

Adım 1 — Üs şeklinde yaz

\sqrt{x^3} = (x^3)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}, \quad 5 \sqrt[3]{x^2} = 5 (x^2)^{\frac{1}{3}} = 5 x^{\frac{2}{3}}

Adım 2 — İntegralleri al

\int x^{\frac{3}{2}} dx - 5 \int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} - 5 \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + C

Adım 3 — İşlemi yap

= \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} - 5 \cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 5 \cdot \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C
= \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{5}{3}} + C

(c) \int \left(2 \sqrt{x^7} + 9 \sqrt[5]{x^4}\right) dx

Adım 1 — Üs olarak yaz

2 \sqrt{x^7} = 2 (x^7)^{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{7}{2}}, \quad 9 \sqrt[5]{x^4} = 9 (x^4)^{\frac{1}{5}} = 9 x^{\frac{4}{5}}

Adım 2 — İntegralleri al

\int 2 x^{\frac{7}{2}} dx + \int 9 x^{\frac{4}{5}} dx = 2 \int x^{\frac{7}{2}} dx + 9 \int x^{\frac{4}{5}} dx
= 2 \cdot \frac{x^{\frac{7}{2}+1}}{\frac{7}{2}+1} + 9 \cdot \frac{x^{\frac{4}{5}+1}}{\frac{4}{5}+1} + C

Adım 3 — İşlemi yap

= 2 \cdot \frac{x^{\frac{9}{2}}}{\frac{9}{2}} + 9 \cdot \frac{x^{\frac{9}{5}}}{\frac{9}{5}} + C = 2 \cdot \frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + 9 \cdot \frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C
= \frac{4}{9} x^{\frac{9}{2}} + 5 x^{\frac{9}{5}} + C

:white_check_mark: CEVAP:

\boxed{ \begin{cases} (a) \quad 2x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C \\ (b) \quad \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{5}{3}} + C \\ (c) \quad \frac{4}{9} x^{\frac{9}{2}} + 5 x^{\frac{9}{5}} + C \end{cases} }

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Güç fonksiyonunun integrali: $$\int x^{n},dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad (n\neq -1)$$
  • Belirli integralde antiderivatif farkı uygulanır: $$\int_a^b f(x),dx=F(b)-F(a)$$

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Soru 2 (a)

İfade kurulumu:

\int\bigl(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}\bigr)\,dx

Birinci terim:

3\int x^{1/2}\,dx
=3\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}
=3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}
=3\cdot\frac{2}{3}\,x^{3/2}
=2x^{3/2}

İkinci terim:

-2\int x^{1/3}\,dx
=-2\cdot\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}
=-2\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}
=-2\cdot\frac{3}{4}\,x^{4/3}
=-\tfrac{3}{2}x^{4/3}

Toplam (Soru 2a):

2x^{3/2}-\tfrac{3}{2}x^{4/3}+C

Adım 2 — Soru 2 (b)

İfade kurulumu:

\int\bigl(\sqrt{x^3}-5\sqrt[3]{x^2}\bigr)\,dx

Not: \sqrt{x^3}=x^{3/2}, \sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}.

Birinci terim:

\int x^{3/2}\,dx
=\frac{x^{3/2+1}}{3/2+1}
=\frac{x^{5/2}}{5/2}
=\frac{2}{5}x^{5/2}

İkinci terim:

-5\int x^{2/3}\,dx
=-5\cdot\frac{x^{2/3+1}}{2/3+1}
=-5\cdot\frac{x^{5/3}}{5/3}
=-5\cdot\frac{3}{5}\,x^{5/3}
=-3x^{5/3}

Toplam (Soru 2b):

\tfrac{2}{5}x^{5/2}-3x^{5/3}+C

Adım 3 — Soru 2 (c)

İfade kurulumu:

\int\bigl(2\sqrt{x^7}+9\sqrt[5]{x^4}\bigr)\,dx

Not: \sqrt{x^7}=x^{7/2}, \sqrt[5]{x^4}=x^{4/5}.

Birinci terim:

2\int x^{7/2}\,dx
=2\cdot\frac{x^{7/2+1}}{7/2+1}
=2\cdot\frac{x^{9/2}}{9/2}
=2\cdot\frac{2}{9}\,x^{9/2}
=\tfrac{4}{9}x^{9/2}

İkinci terim:

9\int x^{4/5}\,dx
=9\cdot\frac{x^{4/5+1}}{4/5+1}
=9\cdot\frac{x^{9/5}}{9/5}
=9\cdot\frac{5}{9}\,x^{9/5}
=5x^{9/5}

Toplam (Soru 2c):

\tfrac{4}{9}x^{9/2}+5x^{9/5}+C

Adım 4 — Soru 3 (a)

İfade kurulumu (belirli integral):

\int_{1}^{2} x^{\pi-1}\,dx

Antiderivatif:

\int x^{\pi-1}\,dx=\frac{x^{\pi}}{\pi}

Değerlendirme:

\left.\frac{x^{\pi}}{\pi}\right|_{1}^{2}
=\frac{2^{\pi}}{\pi}-\frac{1^{\pi}}{\pi}
=\frac{2^{\pi}-1}{\pi}

Adım 5 — Soru 3 (b)

İfade kurulumu (belirli integral):

\int_{2}^{3} e\,x^{e-1}\,dx

Antiderivatif:

\int e\,x^{e-1}\,dx=e\cdot\frac{x^{e}}{e}
=x^{e}

Değerlendirme:

\left.x^{e}\right|_{2}^{3}
=3^{e}-2^{e}

Adım 6 — Soru 3 (c)

İfade kurulumu (belirli integral):

\int_{0}^{1} x^{\pi e}\,dx

Antiderivatif:

\int x^{\pi e}\,dx=\frac{x^{\pi e+1}}{\pi e+1}

Değerlendirme:

\left.\frac{x^{\pi e+1}}{\pi e+1}\right|_{0}^{1}
=\frac{1^{\pi e+1}}{\pi e+1}-\frac{0^{\pi e+1}}{\pi e+1}
=\frac{1}{\pi e+1}

:white_check_mark: CEVAP:

  • Soru 2 (a): 2x^{3/2}-\tfrac{3}{2}x^{4/3}+C
  • Soru 2 (b): \tfrac{2}{5}x^{5/2}-3x^{5/3}+C
  • Soru 2 (c): \tfrac{4}{9}x^{9/2}+5x^{9/5}+C
  • Soru 3 (a): \dfrac{2^{\pi}-1}{\pi}
  • Soru 3 (b): 3^{e}-2^{e}
  • Soru 3 (c): \dfrac{1}{\pi e+1}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: