Soru:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını
bulunuz.
()(/a- 2/ī) de
Çözümü Göster
(a)
(6)
(c)
+9Vz4) da
exda
dz
Soru Fotoğrafı:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Güç fonksiyonlarının integrali: \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ( n \neq -1)
- Toplamların integrali toplamın integrali olarak alınır: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx
(a) \int \left(3\sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}\right) dx
Adım 1 — İfadeyi üs cinsinden yaz
\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}, \quad \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}
Böylece integrand:
3x^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{3}}
Adım 2 — Her terimin integralini hesapla
\int 3x^{\frac{1}{2}} dx = 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}}
\int -2 x^{\frac{1}{3}} dx = -2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} = -2 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = -2 \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}}
Adım 3 — Sonucu yaz
\int \left(3\sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}\right) dx = 2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C
(b) \int \left(\sqrt{x^3} - 5 \sqrt[3]{x^2}\right) dx
Adım 1 — İfadeyi üs cinsinden yaz
\sqrt{x^3} = (x^3)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}, \quad \sqrt[3]{x^2} = (x^2)^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}}
İntegrand:
x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{2}{3}}
Adım 2 — Her terimin integralini hesapla
\int x^{\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}
\int -5 x^{\frac{2}{3}} dx = -5 \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} = -5 \cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = -5 \cdot \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} = -3 x^{\frac{5}{3}}
Adım 3 — Sonucu yaz
\int \left(\sqrt{x^3} - 5 \sqrt[3]{x^2}\right) dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{5}{3}} + C
(c) \int \left(2 \sqrt{x^7} + 9 \sqrt[5]{x^4}\right) dx
Adım 1 — İfadeyi üs cinsinden yaz
\sqrt{x^7} = (x^7)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{7}{2}}, \quad \sqrt[5]{x^4} = (x^4)^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{4}{5}}
İntegrand:
2 x^{\frac{7}{2}} + 9 x^{\frac{4}{5}}
Adım 2 — Her terimin integralini hesapla
\int 2 x^{\frac{7}{2}} dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{7}{2} + 1}}{\frac{7}{2} + 1} = 2 \cdot \frac{x^{\frac{9}{2}}}{\frac{9}{2}} = 2 \cdot \frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} = \frac{4}{9} x^{\frac{9}{2}}
\int 9 x^{\frac{4}{5}} dx = 9 \cdot \frac{x^{\frac{4}{5} + 1}}{\frac{4}{5} + 1} = 9 \cdot \frac{x^{\frac{9}{5}}}{\frac{9}{5}} = 9 \cdot \frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} = 5 x^{\frac{9}{5}}
Adım 3 — Sonucu yaz
\int \left(2 \sqrt{x^7} + 9 \sqrt[5]{x^4}\right) dx = \frac{4}{9} x^{\frac{9}{2}} + 5 x^{\frac{9}{5}} + C
CEVAP:
(a) 2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C
(b) \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{5}{3}} + C
(c) \frac{4}{9} x^{\frac{9}{2}} + 5 x^{\frac{9}{5}} + C
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Güç kuralı: $$\int x^n,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad (n\neq -1)$$
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — (a)
İntegral: $$\int\bigl(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}\bigr),dx$$
Birinci terim:
3\int x^{1/2}\,dx
= $$3\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}$$
= $$3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}$$
= $$3\cdot\frac{2}{3},x^{3/2}$$
= $$2x^{3/2}$$
İkinci terim:
-2\int x^{1/3}\,dx
= $$-2\cdot\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}$$
= $$-2\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}$$
= $$-2\cdot\frac{3}{4},x^{4/3}$$
= $$-\frac{3}{2}x^{4/3}$$
Adım 2 — (a) son toplam
Toplam:
2x^{3/2}-\frac{3}{2}x^{4/3}+C
Adım 3 — (b)
İntegral: $$\int\bigl(\sqrt{x^3}-5\sqrt[3]{x^2}\bigr),dx$$
Not: $$\sqrt{x^3}=x^{3/2},\qquad \sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$$
Birinci terim:
\int x^{3/2}\,dx
= $$\frac{x^{3/2+1}}{3/2+1}$$
= $$\frac{x^{5/2}}{5/2}$$
= $$\frac{2}{5}x^{5/2}$$
İkinci terim:
-5\int x^{2/3}\,dx
= $$-5\cdot\frac{x^{2/3+1}}{2/3+1}$$
= $$-5\cdot\frac{x^{5/3}}{5/3}$$
= $$-5\cdot\frac{3}{5},x^{5/3}$$
= $$-3x^{5/3}$$
Adım 4 — (b) son toplam
Toplam:
\frac{2}{5}x^{5/2}-3x^{5/3}+C
Adım 5 — (c)
İntegral: $$\int\bigl(2\sqrt{x^7}+9\sqrt[3]{x^4}\bigr),dx$$
Not: $$\sqrt{x^7}=x^{7/2},\qquad \sqrt[3]{x^4}=x^{4/3}$$
Birinci terim:
2\int x^{7/2}\,dx
= $$2\cdot\frac{x^{7/2+1}}{7/2+1}$$
= $$2\cdot\frac{x^{9/2}}{9/2}$$
= $$2\cdot\frac{2}{9},x^{9/2}$$
= $$\frac{4}{9}x^{9/2}$$
İkinci terim:
9\int x^{4/3}\,dx
= $$9\cdot\frac{x^{4/3+1}}{4/3+1}$$
= $$9\cdot\frac{x^{7/3}}{7/3}$$
= $$9\cdot\frac{3}{7},x^{7/3}$$
= $$\frac{27}{7}x^{7/3}$$
Adım 6 — (c) son toplam
Toplam:
\frac{4}{9}x^{9/2}+\frac{27}{7}x^{7/3}+C
CEVAP:
(a) \,2x^{3/2}-\dfrac{3}{2}x^{4/3}+C
(b) \,\dfrac{2}{5}x^{5/2}-3x^{5/3}+C
(c) \,\dfrac{4}{9}x^{9/2}+\dfrac{27}{7}x^{7/3}+C
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Güç kuralı
- Tanım: \int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C
- Bu problemde: Kök ifadeleri kesirli kuvvetlere çevirip bu kural uygulandı.
2. Köklerin kuvvet gösterimi
- Tanım: \sqrt[m]{x^k}=x^{k/m}
- Bu problemde: Örneğin \sqrt{x^3}=x^{3/2}, \sqrt[3]{x^4}=x^{4/3}.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kuvvetleri yanlış toplamak
- Yanlış: \int x^{1/2}\,dx=\dfrac{x^{1/2+1}}{1/2}
- Doğru: \int x^{1/2}\,dx=\dfrac{x^{1/2+1}}{1/2+1}
- Neden yanlış: Payda işlemi atlanır.
- Düzeltme: Üstleri topladıktan sonra payda da aynı toplama yapılır.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!