Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz

YKS TYT
1

Soru:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
(a)

ınt (3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}) , dx

(b)

ınt (\sqrt[3]{x^3} - 5\sqrt{x^2}) , dx

(c)

ınt (2\sqrt{x^7} + 9\sqrt{x^4}) , dx

(a)

ınt_{1}^{2} x^{\pi - 1} , dx

(b)

ınt_{2}^{3} e^{x - 1} , dx

(c)

ınt_{0}^{1} x^{\pi} , dx

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli726×1024 50.5 KB

2

Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

(a) ∫ (3√x − 2∛x) dx

Adım 1 — Üsleri açalım:

  • \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}
  • \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}

İntegral ifadesi:

\int (3x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{3}}) \, dx

Adım 2 — İntegrali ayrı ayrı alalım:

3 \int x^{\frac{1}{2}} dx - 2 \int x^{\frac{1}{3}} dx

Adım 3 — Güç kuralını kullanarak integre edelim:

\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
  • \int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}
  • \int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}

Adım 4 — Katsayıları düşünerek sonucu yazalım:

3 \times \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \times \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C = 2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C

(b) ∫ (√{x^3} − 5∛{x^2}) dx

Adım 1 — Üsleri açalım:

  • \sqrt{x^3} = (x^3)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}
  • \sqrt[3]{x^2} = (x^2)^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{2}{3}}

İntegral ifadesi:

\int (x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{2}{3}}) dx

Adım 2 — İntegrali ayrı alalım:

\int x^{\frac{3}{2}} dx - 5 \int x^{\frac{2}{3}} dx

Adım 3 — İntegralleri çözelim:

  • \int x^{\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}
  • \int x^{\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}

Adım 4 — Sonucu yazalım:

\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 5 \times \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{5}{3}} + C

(c) ∫ (2√{x^7} + 9∜{x^4}) dx

Adım 1 — Üsleri açalım:

  • \sqrt{x^7} = (x^7)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{7}{2}}
  • \sqrt[4]{x^4} = (x^4)^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{4}{4}} = x^1

İntegral ifadesi:

\int (2 x^{\frac{7}{2}} + 9 x) dx

Adım 2 — İntegralleri ayrı alalım:

2 \int x^{\frac{7}{2}} dx + 9 \int x dx

Adım 3 — İntegralleri çözelim:

  • \int x^{\frac{7}{2}} dx = \frac{x^{\frac{7}{2} + 1}}{\frac{7}{2} + 1} = \frac{x^{\frac{9}{2}}}{\frac{9}{2}} = \frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}}
  • \int x dx = \frac{x^{2}}{2}

Adım 4 — Sonucu yazalım:

2 \times \frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} + 9 \times \frac{x^2}{2} + C = \frac{4}{9} x^{\frac{9}{2}} + \frac{9}{2} x^2 + C

(a) ∫₁² x^{\pi - 1} dx

Adım 1 — Güç kuralı:

\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1

Burada n = \pi - 1.

Adım 2 — Belirli integrali hesaplayalım:

\int_1^2 x^{\pi - 1} dx = \left[ \frac{x^{\pi}}{\pi} \right]_1^2 = \frac{2^{\pi} - 1^{\pi}}{\pi} = \frac{2^{\pi} - 1}{\pi}

(b) ∫₂³ e^{x - 1} dx

Adım 1 — Üstel fonksiyon integral:

\int e^{ax + b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C

Burada a=1, b=-1.

Adım 2 — İntegrali hesaplayalım:

\int_2^3 e^{x-1} dx = \left[ e^{x-1} \right]_2^3 = e^{3-1} - e^{2-1} = e^2 - e^1 = e^2 - e

(c) ∫₀¹ x^{\pi} dx

Adım 1 — Güç kuralı:

Burada n = \pi.

Adım 2 — Belirli integrali hesaplayalım:

\int_0^1 x^{\pi} dx = \left[ \frac{x^{\pi+1}}{\pi + 1} \right]_0^1 = \frac{1^{\pi+1} - 0}{\pi+1} = \frac{1}{\pi + 1}

:white_check_mark: CEVAPLAR:

(a) 2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C

(b) \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 3 x^{\frac{5}{3}} + C

(c) \frac{4}{9} x^{\frac{9}{2}} + \frac{9}{2} x^2 + C

(a) \displaystyle \frac{2^{\pi} - 1}{\pi}

(b) e^{2} - e

(c) \displaystyle \frac{1}{\pi + 1}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Güç kuralı: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C ( n\neq -1 )
  • Üstel fonksiyon: \displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C
  • Belirli integral: \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a) ( F'=f )

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Soru 2 (a)

İntegral kurulumu:

\int \big(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}\big)\,dx

Birinci terim:

3\sqrt{x}
=3x^{1/2}
\int 3x^{1/2}\,dx
=3\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}
=3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}
=3\cdot\frac{2}{3}x^{3/2}
=2x^{3/2}

İkinci terim:

-2\sqrt[3]{x}
=-2x^{1/3}
\int -2x^{1/3}\,dx
=-2\cdot\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}
=-2\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}
=-2\cdot\frac{3}{4}x^{4/3}
=-\frac{3}{2}x^{4/3}

Toplam (Soru 2a):

2x^{3/2}-\frac{3}{2}x^{4/3}+C

Adım 2 — Soru 2 (b)

İntegral kurulumu:

\int \big(\sqrt{x^3}-5\sqrt[3]{x^2}\big)\,dx

Birinci terim:

\sqrt{x^3}=(x^3)^{1/2}=x^{3/2}
\int x^{3/2}\,dx
=\frac{x^{3/2+1}}{3/2+1}
=\frac{x^{5/2}}{5/2}
=\frac{2}{5}x^{5/2}

İkinci terim:

-5\sqrt[3]{x^2}=-5x^{2/3}
\int -5x^{2/3}\,dx
=-5\cdot\frac{x^{2/3+1}}{2/3+1}
=-5\cdot\frac{x^{5/3}}{5/3}
=-5\cdot\frac{3}{5}x^{5/3}
=-3x^{5/3}

Toplam (Soru 2b):

\frac{2}{5}x^{5/2}-3x^{5/3}+C

Adım 3 — Soru 2 (c)

İntegral kurulumu:

\int \big(2\sqrt{x^7}+9\sqrt[5]{x^4}\big)\,dx

Birinci terim:

2\sqrt{x^7}=2(x^7)^{1/2}=2x^{7/2}
\int 2x^{7/2}\,dx
=2\cdot\frac{x^{7/2+1}}{7/2+1}
=2\cdot\frac{x^{9/2}}{9/2}
=2\cdot\frac{2}{9}x^{9/2}
=\frac{4}{9}x^{9/2}

İkinci terim:

9\sqrt[5]{x^4}=9x^{4/5}
\int 9x^{4/5}\,dx
=9\cdot\frac{x^{4/5+1}}{4/5+1}
=9\cdot\frac{x^{9/5}}{9/5}
=9\cdot\frac{5}{9}x^{9/5}
=5x^{9/5}

Toplam (Soru 2c):

\frac{4}{9}x^{9/2}+5x^{9/5}+C

Adım 4 — Soru 3 (a)

İntegral kurulumu:

\int_{1}^{2} x^{\pi-1}\,dx

Hesap:

\int x^{\pi-1}\,dx=\frac{x^{\pi-1+1}}{\pi-1+1}=\frac{x^{\pi}}{\pi}
\left.\frac{x^{\pi}}{\pi}\right|_{1}^{2}
=\frac{2^{\pi}}{\pi}-\frac{1^{\pi}}{\pi}
=\frac{2^{\pi}-1}{\pi}

Adım 5 — Soru 3 (b)

İntegral kurulumu:

\int_{2}^{3} e^{x-1}\,dx

Hesap:

\int e^{x-1}\,dx=e^{x-1}
\left.e^{x-1}\right|_{2}^{3}
=e^{3-1}-e^{2-1}
=e^{2}-e

Adım 6 — Soru 3 (c)

İntegral kurulumu:

\int_{0}^{1} x^{\pi}\,dx

Hesap:

\int x^{\pi}\,dx=\frac{x^{\pi+1}}{\pi+1}
\left.\frac{x^{\pi+1}}{\pi+1}\right|_{0}^{1}
=\frac{1^{\pi+1}}{\pi+1}-\frac{0^{\pi+1}}{\pi+1}
=\frac{1}{\pi+1}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP:

  • Soru 2 (a): \displaystyle 2x^{3/2}-\frac{3}{2}x^{4/3}+C

  • Soru 2 (b): \displaystyle \frac{2}{5}x^{5/2}-3x^{5/3}+C

  • Soru 2 (c): \displaystyle \frac{4}{9}x^{9/2}+5x^{9/5}+C

  • Soru 3 (a): \displaystyle \frac{2^{\pi}-1}{\pi}

  • Soru 3 (b): \displaystyle e^{2}-e

  • Soru 3 (c): \displaystyle \frac{1}{\pi+1}
    ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Güç kuralı
  • Tanım: Üs fonksiyonlarının integrali üs artırılarak ve yeni üs ile bölünerek bulunur.
  • Bu problemde: Kök ifadeler önce x^{n} biçimine çevrildi, sonra güç kuralı uygulandı.
  1. Belirli integral
  • Tanım: Belirli integral, bir antiderivatifin üst ve alt sınırlarındaki farkıdır.
  • Bu problemde: Antiderivatif hesaplandı ve sınırlar yerine kondu.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Kökleri yanlış açmak

  • Yanlış: \sqrt{x^3}=x^{3/2} yerine yanlışlıkla x^{1/2}\cdot x^{3} gibi yazmak.
  • Doğru: \sqrt{x^3}=(x^3)^{1/2}=x^{3/2}.
  • Neden yanlış: Kök ve üslerin birleşik işlemi yanlış ayrıştırılırsa üs toplamı hatalı olur.
  • Düzeltme: Kökleri önce tek bir üs ifadesiyle yaz, sonra integrali uygula.

:cross_mark: Sabit faktörü unutarak bölme

  • Yanlış: \int 3x^{1/2}dx=\frac{x^{3/2}}{3/2} (3 çarpanı unutulmuş)
  • Doğru: \int 3x^{1/2}dx=3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}
  • Neden yanlış: Sabit çarpan integral dışında kalmaz.
  • Düzeltme: Her terimi ayrı hesapla veya sabiti başa al.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?