Soru:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
(a)
\int (3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}) \, dx
(b)
\int \sqrt[3]{x^3} - 5\sqrt[2]{x^2} \, dx
(c)
\int (2\sqrt[7]{x} + 9\sqrt[4]{x^4}) \, dx
Soru Fotoğrafı:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
(a) \int (3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x}) \, dx
Adım 1 — Kuvvetleri yazalım:
3\sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}}, \quad 2\sqrt[3]{x} = 2x^{\frac{1}{3}}
Adım 2 — Entegralleri ayrı yazalım:
\int 3x^{\frac{1}{2}} dx - \int 2x^{\frac{1}{3}} dx
Adım 3 — İntegrali uygulayalım:
3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} - 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C
= 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C
Adım 4 — Paydaları ters çevirip çarpalım:
= 3 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C
= 2x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C
(b) \int \left(\sqrt[3]{x^3} - 5\sqrt[2]{x^2}\right) dx
Adım 1 — Kuvvetleri yazalım:
\sqrt[3]{x^3} = (x^3)^{\frac{1}{3}} = x^{3 \cdot \frac{1}{3}} = x^1 = x
5\sqrt[2]{x^2} = 5(x^2)^{\frac{1}{2}} = 5x^{2 \cdot \frac{1}{2}} = 5x^1 = 5x
Adım 2 — İntegrali yazalım:
\int (x - 5x) dx = \int -4x \, dx
Adım 3 — İntegrali hesaplayalım:
-4 \int x \, dx = -4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = -4 \cdot \frac{x^{2}}{2} + C = -2x^2 + C
(c) \int (2\sqrt[7]{x} + 9\sqrt[4]{x^4}) \, dx
Adım 1 — Kuvvetleri yazalım:
2 \sqrt[7]{x} = 2x^{\frac{1}{7}}, \quad 9 \sqrt[4]{x^4} = 9 (x^4)^{\frac{1}{4}} = 9 x^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 9x^1 = 9x
Adım 2 — İntegralleri ayıralım:
\int 2x^{\frac{1}{7}} dx + \int 9x dx
Adım 3 — İntegrali hesaplayalım:
2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{7} + 1}}{\frac{1}{7} + 1} + 9 \cdot \frac{x^{1+1}}{1 + 1} + C = 2 \cdot \frac{x^{\frac{8}{7}}}{\frac{8}{7}} + 9 \cdot \frac{x^2}{2} + C
Adım 4 — Paydaları ters çevirip çarpalım:
2 \cdot \frac{7}{8} x^{\frac{8}{7}} + \frac{9}{2} x^2 + C = \frac{7}{4} x^{\frac{8}{7}} + \frac{9}{2} x^2 + C
CEVAP:
\text{(a) } 2x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C
\text{(b) } -2x^2 + C
\text{(c) } \frac{7}{4} x^{\frac{8}{7}} + \frac{9}{2} x^2 + C
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Güç kuralı: \displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C (n\neq -1)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — (a)
İfade kurulumu:
$$\int \bigl(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}\bigr),dx
= \int \bigl(3x^{1/2}-2x^{1/3}\bigr),dx$$
Birinci terim:
3\int x^{1/2}\,dx
=3\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}
=3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}
=3\cdot\frac{2}{3}\,x^{3/2}
=2x^{3/2}
İkinci terim:
-2\int x^{1/3}\,dx
=-2\cdot\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}
=-2\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}
=-2\cdot\frac{3}{4}\,x^{4/3}
=-\tfrac{3}{2}x^{4/3}
Toparlama (a) için:
2x^{3/2}-\tfrac{3}{2}x^{4/3}+C
Adım 2 — (b)
İfade kurulumu:
$$\int\bigl(\sqrt[3]{x^3}-5\sqrt{x^2}\bigr),dx
= \int\bigl(x-5\sqrt{x^2}\bigr),dx$$
Not: \sqrt{x^2}=|x| olur. Aşağıdaki hesaplama x\ge 0 kabulüyle yapılmıştır; genel durumda \sqrt{x^2}=|x| kullanılarak diferansiyel sonuç farklı bir formda yazılır.
Basitleştirme (x\ge 0 kabulüyle):
\int\bigl(x-5x\bigr)\,dx
=\int (-4x)\,dx
=-4\int x\,dx
=-4\cdot\frac{x^{2}}{2}
=-2x^{2}
(b) için (x\ge 0 kabulüyle):
-2x^{2}+C
(Genel ifade istenirse: \displaystyle \tfrac{1}{2}x^2-\tfrac{5}{2}x|x|+C.)
Adım 3 — (c)
İfade kurulumu:
$$\int\bigl(2\sqrt[7]{x}+9\sqrt[4]{x^4}\bigr),dx
= \int\bigl(2x^{1/7}+9(x^4)^{1/4}\bigr),dx$$
Not: (x^4)^{1/4}=|x|. Aşağıdaki hesaplama x\ge 0 kabulüyle yapılmıştır.
Basitleştirme (x\ge 0 kabulüyle):
\int\bigl(2x^{1/7}+9x\bigr)\,dx
Birinci terim:
2\int x^{1/7}\,dx
=2\cdot\frac{x^{1/7+1}}{1/7+1}
=2\cdot\frac{x^{8/7}}{8/7}
=2\cdot\frac{7}{8}\,x^{8/7}
=\tfrac{7}{4}x^{8/7}
İkinci terim:
9\int x\,dx
=9\cdot\frac{x^{2}}{2}
=\tfrac{9}{2}x^{2}
Toparlama (c) için:
\tfrac{7}{4}x^{8/7}+\tfrac{9}{2}x^{2}+C
TEMEL KAVRAMLAR:
- Güç kuralı
- Tanım: \int x^n dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C (n\neq -1)
- Bu problemde: Köklü ifadeler x^{a/b} biçimine çevrilip bu kural uygulandı.
- Karekök / çift dereceli köklerin özelliği
- Tanım: \sqrt{x^2}=|x|
- Bu problemde: Öğrenci soruda tipik olarak x\ge0 kabulüyle hesaplayabilir; genel durumda mutlak değer dikkate alınmalıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hata: \sqrt{x^2} yerine her zaman x yazmak.
- Doğru: \sqrt{x^2}=|x| olmalıdır.
- Neden yanlış: Negatif x değerlerinde işaret değişir.
- Düzeltme: Eğer problem şartı yoksa mutlak değeri kullan veya açıkça x\ge0 kabulünü belirt.
Hata: İntegralde terimleri ayırmadan doğrudan toplamın kuvvetini artırmak.
- Doğru: Her terimi ayrı ayrı integrallenmelidir.
CEVAP:
(a) \displaystyle 2x^{3/2}-\tfrac{3}{2}x^{4/3}+C
(b) \displaystyle -2x^{2}+C (varsayım: x\ge0; genel durumda \displaystyle \tfrac{1}{2}x^2-\tfrac{5}{2}x|x|+C)
(c) \displaystyle \tfrac{7}{4}x^{8/7}+\tfrac{9}{2}x^{2}+C
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!