Soru:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
a)
\int_{1}^{2} x^{\pi - 1} \, dx
b)
\int_{2}^{3} e^{x e^{-1}} \, dx
c)
\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} \, dx
Soru Fotoğrafı:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Güç fonksiyonunun integrali: \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
- Üstel fonksiyon integrali: \int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C
- Logaritmanın integrali için: \int \frac{\ln x}{x} dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C
ÇÖZÜM ADIMLARI:
a) \int_{1}^{2} x^{\pi - 1} \, dx
Adım 1 — İntegrali Kur
Üs ifadesi \pi - 1 olduğundan, integral gücün integrali kuralına uygundur.
\int x^{\pi-1} dx = \frac{x^\pi}{\pi} + C
Adım 2 — Belirli integral değerlerini yerine koy
\int_1^2 x^{\pi-1} dx = \left. \frac{x^\pi}{\pi} \right|_1^2 = \frac{2^\pi - 1^\pi}{\pi} = \frac{2^\pi - 1}{\pi}
b) \int_{2}^{3} e^{x e^{-1}} \, dx
Adım 1 — Sabiti sadeleştir
e^{-1} = \frac{1}{e} olduğundan, e^{x/e} yazılabilir.
Adım 2 — Üstel fonksiyon integrali uygulaması
\int e^{x/e} dx = e \cdot e^{x/e} + C
Çünkü \int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C ve burada a = \frac{1}{e}, \frac{1}{a} = e.
Adım 3 — Belirli integral hesaplama
\int_2^3 e^{x/e} dx = \left. e \cdot e^{x/e} \right|_2^3 = e \left(e^{3/e} - e^{2/e}\right) = e^{1 + 3/e} - e^{1 + 2/e}
c) \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x} \, dx
Adım 1 — İntegrali hatırla
\int \frac{\ln x}{x} dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C
Adım 2 — Belirli integral hesaplama
\int_1^e \frac{\ln x}{x} dx = \left. \frac{(\ln x)^2}{2} \right|_1^e = \frac{(\ln e)^2}{2} - \frac{(\ln 1)^2}{2} = \frac{1^2}{2} - 0 = \frac{1}{2}
CEVAP:
a) \displaystyle \frac{2^\pi - 1}{\pi}
b) \displaystyle e^{1 + \frac{3}{e}} - e^{1 + \frac{2}{e}}
c) \displaystyle \frac{1}{2}
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Güç kuralı: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C (n \neq -1)
- Üstel fonksiyon integrali: \displaystyle \int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C
- Yerine koyma (substitusyon): u=g(x) ve du=g'(x)\,dx ise integral değiştirilebilir
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — (a) \displaystyle \int_{1}^{2} x^{\pi-1}\,dx
\int_{1}^{2} x^{\pi-1}\,dx
= \left[ \frac{x^{\pi}}{\pi} \right]_{1}^{2}
= \frac{2^{\pi}}{\pi} - \frac{1^{\pi}}{\pi}
Adım 2 — (b) \displaystyle \int_{2}^{3} e^{x e^{-1}}\,dx
\int_{2}^{3} e^{x e^{-1}}\,dx
= \left[ \frac{1}{e^{-1}}\, e^{x e^{-1}} \right]_{2}^{3}
= \left[ e\, e^{x/e} \right]_{2}^{3}
= e\,e^{3/e} - e\,e^{2/e}
Adım 3 — (c) \displaystyle \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x}\,dx
\int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x}\,dx
\text{Yerine koyma: } u=\ln x,\quad du=\frac{1}{x}dx
\Rightarrow \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{x}\,dx = \int_{0}^{1} u\,du
= \left[ \frac{u^{2}}{2} \right]_{0}^{1}
= \frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}
= \frac{1}{2}
CEVAP:
- (a) \displaystyle \frac{2^{\pi}-1}{\pi}
- (b) \displaystyle e\bigl(e^{3/e}-e^{2/e}\bigr)
- (c) \displaystyle \frac{1}{2}
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Güç kuralı
- Tanım: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
- Bu problemde: (a) integrali için üstel ifadeyi doğrudan bu kuralla entegre ettik.
2. Üstel fonksiyon integrali
- Tanım: \displaystyle \int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C
- Bu problemde: (b) integrali için a=e^{-1} alınıp çarpan 1/a = e kullanıldı.
3. Yerine koyma (substitusyon)
- Tanım: Değişken dönüşümü kullanarak integrali basitleştirme yöntemi.
- Bu problemde: (c) için u=\ln x ile integral kolayca \int u\,du oldu.
SIK YAPILAN HATALAR:
Üstel integralde katsayıyı unutma
- Yanlış: \int e^{ax}\,dx = e^{ax}
- Doğru: \int e^{ax}\,dx = \dfrac{1}{a}e^{ax}
- Neden yanlış: Sabit katsayı a hesaba katılmazsa sonuç eksik kalır.
- Düzeltme: a=e^{-1} ise 1/a = e olduğunu unutmayın.
\displaystyle \int \frac{\ln x}{x}\,dx 'de doğrudan ln alışı
- Yanlış: \int \frac{\ln x}{x}\,dx = \ln x + C
- Doğru: \int \frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^{2}}{2}+C
- Neden yanlış: Doğru türev/antitürev ilişkisi yerine yanlış benzerlik yapılır.
- Düzeltme: u=\ln x alıp \int u\,du yapın.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!