Soru:
a)
\int_{1}^{2} \left( 3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x} \right) dx
b)
\int \left( \sqrt[3]{x^3} - 5\sqrt[5]{x^2} \right) dx
c)
\int \left( 2\sqrt[7]{x^7} + 9\sqrt[5]{x^4} \right) dx
Soru Fotoğrafı:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
a)
\int_{1}^{2} \left( 3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x} \right) dx
Adım 1 — İfadeyi kuvvet şeklinde yaz
3\sqrt{x} = 3x^{1/2}, \quad 2\sqrt[3]{x} = 2x^{1/3}
Adım 2 — İntegrali ayır ve kuvvetlerin integrallerini al
\int_{1}^{2} \left( 3x^{1/2} - 2x^{1/3} \right) dx = 3\int_{1}^{2} x^{1/2} dx - 2 \int_{1}^{2} x^{1/3} dx
Adım 3 — İntegralleri hesapla
3 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_1^2 - 2 \left[ \frac{x^{4/3}}{4/3} \right]_1^2
= 3 \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_1^2 - 2 \left[ \frac{3}{4} x^{4/3} \right]_1^2
= 2\left(2^{3/2} - 1^{3/2}\right) - \frac{3}{2}\left(2^{4/3} - 1^{4/3}\right)
= 2(2^{1.5} - 1) - \frac{3}{2}(2^{1.333..} - 1)
Adım 4 — Sayısal değerleri hesapla
2^{1.5} = 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2.8284
2^{4/3} = \sqrt[3]{2^4} = \sqrt[3]{16} \approx 2.5198
2(2.8284 - 1) - \frac{3}{2}(2.5198 - 1) = 2(1.8284) - 1.5(1.5198) = 3.6568 - 2.2797 = 1.3771
b)
\int \left( \sqrt[3]{x^3} - 5\sqrt[5]{x^2} \right) dx
Adım 1 — Kuvvetlere dönüştür
\sqrt[3]{x^3} = x^{3/3} = x^1, \quad 5 \sqrt[5]{x^2} = 5x^{2/5}
Adım 2 — İntegrali ayır ve hesapla
\int \left(x - 5x^{\frac{2}{5}}\right) dx = \int x\, dx - 5 \int x^{\frac{2}{5}} dx
= \frac{x^2}{2} - 5 \cdot \frac{x^{\frac{7}{5}}}{\frac{7}{5}} + C = \frac{x^2}{2} - 5 \cdot \frac{5}{7} x^{\frac{7}{5}} + C
= \frac{x^2}{2} - \frac{25}{7} x^{\frac{7}{5}} + C
c)
\int \left( 2\sqrt[7]{x^7} + 9\sqrt[5]{x^4} \right) dx
Adım 1 — Kuvvetleri yaz
2\sqrt[7]{x^7} = 2x^{7/7} = 2x^1, \quad 9 \sqrt[5]{x^4} = 9x^{4/5}
Adım 2 — İntegrali ayır ve hesapla
\int (2x + 9x^{4/5}) dx = 2 \int x\, dx + 9 \int x^{4/5} dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 9 \cdot \frac{x^{9/5}}{9/5} + C
= x^2 + 9 \cdot \frac{5}{9} x^{9/5} + C = x^2 + 5 x^{9/5} + C
CEVAPLAR:
a)
\int_{1}^{2} \left( 3\sqrt{x} - 2\sqrt[3]{x} \right) dx = 2\left(2^{3/2} - 1\right) - \frac{3}{2}\left(2^{4/3} - 1\right) \approx 1.3771
b)
\int \left( \sqrt[3]{x^3} - 5 \sqrt[5]{x^2} \right) dx = \frac{x^2}{2} - \frac{25}{7} x^{\frac{7}{5}} + C
c)
\int \left( 2\sqrt[7]{x^7} + 9 \sqrt[5]{x^4} \right) dx = x^{2} + 5 x^{\frac{9}{5}} + C
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- İntegralin kuvvet kuralı: \displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C, n\neq -1
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — (a) İntegrali kur
\int_{1}^{2}\left(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}\right)\,dx
Birinci terim:
3\int_{1}^{2} x^{1/2}\,dx
=3\left[\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}\right]_{1}^{2}
=3\left[\frac{x^{3/2}}{3/2}\right]_{1}^{2}
=3\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_{1}^{2}
=2\left[x^{3/2}\right]_{1}^{2}
İkinci terim:
-2\int_{1}^{2} x^{1/3}\,dx
=-2\left[\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}\right]_{1}^{2}
=-2\left[\frac{x^{4/3}}{4/3}\right]_{1}^{2}
=-2\left[\frac{3}{4}x^{4/3}\right]_{1}^{2}
=-\frac{3}{2}\left[x^{4/3}\right]_{1}^{2}
Değerlendirme:
2\left[ x^{3/2} \right]_{1}^{2} - \frac{3}{2}\left[ x^{4/3} \right]_{1}^{2}
=2\left(2^{3/2}-1^{3/2}\right)-\frac{3}{2}\left(2^{4/3}-1^{4/3}\right)
=4\sqrt{2}-2-\frac{3}{2}\left(2^{4/3}-1\right)
=4\sqrt{2}-2-\frac{3}{2}\cdot 2^{4/3}+\frac{3}{2}
=4\sqrt{2}-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}\cdot 2^{4/3}
=4\sqrt{2}-\frac{1}{2}-3\cdot 2^{1/3}
Adım 2 — (b) İntegrali kur
\int\left(\sqrt[3]{x^3}-5\sqrt[5]{x^2}\right)\,dx
Ön hazırlık (ifadelerin sadeleşmesi):
\sqrt[3]{x^3}=x
\sqrt[5]{x^2}=x^{2/5}
Birinci terim:
\int x\,dx
=\frac{x^{2}}{2}
İkinci terim:
-5\int x^{2/5}\,dx
=-5\left[\frac{x^{2/5+1}}{2/5+1}\right]
=-5\left[\frac{x^{7/5}}{7/5}\right]
=-5\left[\frac{5}{7}x^{7/5}\right]
=-\frac{25}{7}x^{7/5}
Toplam (belirsiz integral):
\frac{x^{2}}{2}-\frac{25}{7}x^{7/5}+C
Adım 3 — (c) İntegrali kur
\int\left(2\sqrt[7]{x^7}+9\sqrt[5]{x^4}\right)\,dx
Ön hazırlık (ifadelerin sadeleşmesi):
\sqrt[7]{x^7}=x
\sqrt[5]{x^4}=x^{4/5}
Birinci terim:
\int 2x\,dx
=2\cdot\frac{x^{2}}{2}
=x^{2}
İkinci terim:
9\int x^{4/5}\,dx
=9\left[\frac{x^{4/5+1}}{4/5+1}\right]
=9\left[\frac{x^{9/5}}{9/5}\right]
=9\left[\frac{5}{9}x^{9/5}\right]
=5x^{9/5}
Toplam (belirsiz integral):
x^{2}+5x^{9/5}+C
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
(a) (\displaystyle \int_{1}^{2}\left(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}\right),dx
=4\sqrt{2}-3\cdot 2^{1/3}-\tfrac{1}{2})
(b) (\displaystyle \int\left(\sqrt[3]{x^3}-5\sqrt[5]{x^2}\right),dx
=\frac{x^{2}}{2}-\frac{25}{7}x^{7/5}+C)
(c) (\displaystyle \int\left(2\sqrt[7]{x^7}+9\sqrt[5]{x^4}\right),dx
=x^{2}+5x^{9/5}+C)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kuvvet kuralı
- Tanım: \displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C
- Bu problemde: Kök ifadeler üslü forma çevrilip bu kural uygulandı.
- Kökleri üslü ifadeye çevirme
- Tanım: \sqrt[m]{x^k}=x^{k/m}
- Bu problemde: Örneğin \sqrt[3]{x^3}=x, \sqrt[5]{x^2}=x^{2/5}.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kökleri doğrudan integre etmek
- Yanlış: \int \sqrt{x}\,dx = \sqrt{x}+C
- Doğru: \int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}+C
- Neden yanlış: Kuvvet kuralı uygulanmazsa sonuç hatalı olur.
- Düzeltme: Kökü üslü forma çevirip kuvvet kuralını kullanın.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?