Soru:
SORU 2 :
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz.
\int \sqrt{x} - 2 \sqrt{x} \, dx
\int \sqrt{x^3} - 5 \sqrt{x^2} \, dx
\int 2 \sqrt{x^7} - 9 \sqrt{x^4} \, dx
Soru Fotoğrafı:
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Güç fonksiyonunun integrali:
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
- Karekök ifadesi, üslü ifade şeklinde yazılır:
\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}, \quad \sqrt[m]{x^n} = x^{\frac{n}{m}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
(a) \int \left(3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}\right) dx
Adım 1 — İfadeleri üslü ifadeye dönüştür
3 \sqrt{x} = 3x^{\frac{1}{2}}, \quad 2 \sqrt[3]{x} = 2x^{\frac{1}{3}}
Adım 2 — İntegralleri ayrı ayrı yaz
\int (3x^{\frac{1}{2}} - 2x^{\frac{1}{3}}) dx = 3 \int x^{\frac{1}{2}} dx - 2 \int x^{\frac{1}{3}} dx
Adım 3 — Güç kuralını uygula
\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}
\int x^{\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}
Adım 4 — Katsayıları çarp ve yaz
3 \times \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \times \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} = 2x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C
(b) \int \left(\sqrt{x^3} - 5 \sqrt{x^2}\right) dx
Adım 1 — Üslü ifadeye dönüştür
\sqrt{x^3} = (x^3)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}, \quad 5 \sqrt{x^2} = 5 (x^2)^{\frac{1}{2}} = 5 x^{1} = 5x
Adım 2 — İntegrale yaz
\int (x^{\frac{3}{2}} - 5x) dx = \int x^{\frac{3}{2}} dx - 5 \int x dx
Adım 3 — İntegralleri hesapla
\int x^{\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}, \quad \int x dx = \frac{x^2}{2}
Adım 4 — Sonucu yaz
\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 5 \times \frac{x^2}{2} + C = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{5}{2} x^2 + C
(c) \int \left( 2 \sqrt{x^7} - 9 \sqrt[5]{x^4} \right) dx
Adım 1 — Üslü ifadeye dönüştür
2 \sqrt{x^7} = 2 (x^7)^{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{7}{2}}, \quad 9 \sqrt[5]{x^4} = 9 x^{\frac{4}{5}}
Adım 2 — İntegrali yaz
\int (2 x^{\frac{7}{2}} - 9 x^{\frac{4}{5}}) dx = 2 \int x^{\frac{7}{2}} dx - 9 \int x^{\frac{4}{5}} dx
Adım 3 — İntegralleri hesapla
\int x^{\frac{7}{2}} dx = \frac{x^{\frac{9}{2}}}{\frac{9}{2}} = \frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}}, \quad \int x^{\frac{4}{5}} dx = \frac{x^{\frac{9}{5}}}{\frac{9}{5}} = \frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}}
Adım 4 — Katsayıları çarp ve yaz
2 \times \frac{2}{9} x^{\frac{9}{2}} - 9 \times \frac{5}{9} x^{\frac{9}{5}} + C = \frac{4}{9} x^{\frac{9}{2}} - 5 x^{\frac{9}{5}} + C
CEVAP:
\int \left(3 \sqrt{x} - 2 \sqrt[3]{x}\right) dx = 2 x^{\frac{3}{2}} - \frac{3}{2} x^{\frac{4}{3}} + C
\int \left(\sqrt{x^3} - 5 \sqrt{x^2}\right) dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{5}{2} x^2 + C
\int \left(2 \sqrt{x^7} - 9 \sqrt[5]{x^4}\right) dx = \frac{4}{9} x^{\frac{9}{2}} - 5 x^{\frac{9}{5}} + C
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
Aşağıdaki integrallerin sonuçlarını bulunuz
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Powers kuralı: \displaystyle \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C ( n\neq -1 )
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — (a) \displaystyle \int\bigl(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}\bigr)\,dx
Kurulum:
\int\bigl(3\sqrt{x}-2\sqrt[3]{x}\bigr)\,dx
Birinci terim:
3\int x^{1/2}\,dx
=3\cdot\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}
=3\cdot\frac{x^{3/2}}{3/2}
=3\cdot\frac{2}{3}\,x^{3/2}
=2x^{3/2}
İkinci terim:
-2\int x^{1/3}\,dx
=-2\cdot\frac{x^{1/3+1}}{1/3+1}
=-2\cdot\frac{x^{4/3}}{4/3}
=-2\cdot\frac{3}{4}\,x^{4/3}
=-\frac{3}{2}\,x^{4/3}
Toplam sonuç (a) için:
(sonuca geçmeden önce toplama yapılır)
Adım 2 — (b) \displaystyle \int\bigl(\sqrt{x^3}-5\sqrt{x^2}\bigr)\,dx
Kurulum:
\int\bigl(x^{3/2}-5x\bigr)\,dx
Birinci terim:
\int x^{3/2}\,dx
=\frac{x^{3/2+1}}{3/2+1}
=\frac{x^{5/2}}{5/2}
=\frac{2}{5}x^{5/2}
İkinci terim:
-5\int x\,dx
=-5\cdot\frac{x^{1+1}}{1+1}
=-5\cdot\frac{x^{2}}{2}
=-\frac{5}{2}x^{2}
Toplam sonuç (b) için:
(sonuca geçmeden önce toplama yapılır)
Adım 3 — (c) \displaystyle \int\bigl(2\sqrt{x^7}+9\sqrt[5]{x^4}\bigr)\,dx
Kurulum:
\int\bigl(2x^{7/2}+9x^{4/5}\bigr)\,dx
Birinci terim:
2\int x^{7/2}\,dx
=2\cdot\frac{x^{7/2+1}}{7/2+1}
=2\cdot\frac{x^{9/2}}{9/2}
=2\cdot\frac{2}{9}\,x^{9/2}
=\frac{4}{9}x^{9/2}
İkinci terim:
9\int x^{4/5}\,dx
=9\cdot\frac{x^{4/5+1}}{4/5+1}
=9\cdot\frac{x^{9/5}}{9/5}
=9\cdot\frac{5}{9}\,x^{9/5}
=5x^{9/5}
Toplam sonuç (c) için:
(sonuca geçmeden önce toplama yapılır)
TEMEL KAVRAMLAR:
- İntegral (antiderivatif)
- Tanım: Bir fonksiyonun türevini tersine çeviren işlemdir.
- Bu problemde: Güç şeklindeki terimlerin integralini almak için Powers kuralı kullanıldı.
- Kökleri üs olarak yazma
- Tanım: \sqrt[n]{x}=x^{1/n}.
- Bu problemde: Karekök ve küpkök gibi ifadeler üs biçimine çevrildi: örn. \sqrt{x}=x^{1/2}.
SIK YAPILAN HATALAR:
Üsleri yanlış toplama
- Yanlış: \int x^{a}\,dx = \frac{x^{a}}{a}
- Doğru: \int x^{a}\,dx = \frac{x^{a+1}}{a+1}
- Neden yanlış: Üs eklemeyi unutmak hataya yol açar.
- Düzeltme: Her zaman üs +1 yap ve bölü (a+1) al.
Karekök(x^2) işlemi
- Yanlış: \sqrt{x^2}=x her durumda alındığında işaret hatası olabilir.
- Doğru: \sqrt{x^2}=|x|, fakat bu tür TYT/TYT-ödevlerinde genellikle x\ge0 kabul edilir.
- Neden yanlış: Mutlak değeri göz ardı etmek yanlış sonuca yol açabilir.
- Düzeltme: Eğer domain verilmemişse genelde x\ge0 varsayımıyla ilerleyin veya |x| belirtin.
CEVAP:
(a) \displaystyle 2x^{3/2}-\frac{3}{2}x^{4/3}+C
(b) \displaystyle \frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{5}{2}x^{2}+C
(c) \displaystyle \frac{4}{9}x^{9/2}+5x^{9/5}+C
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!