Anlamadom!1000042615|375x500 [Link Silindi]
Fonksiyonların Tanım Kümesi ve Görüntü Kümesi Kesiti Sorusu
Önemli Çıkarımlar
- Fonksiyonun tanım kümesi A’dır, yani ( A = {x \mid -1 \leq x \leq 2} ).
- Fonksiyonun görüntü kümesi ( f(A) ), grafik üzerinde ( y ) değerleridir.
- ( A \cap f(A) ) kümesindeki tam sayılar soruluyor.
Cevap
Fonksiyonun tanım kümesi ( A = {-1,0,1,2 } ) olarak alınabilir. Grafikte ( x ) ekseninde fonksiyon (-1 \leq x \leq 2) arasında tanımlı.
Grafiğe göre fonksiyon:
- ( f(-1) = 0 )
- ( f(0) = 1 )
- ( f(2) = 3 )
Doğrusal olduğu için aradaki noktalar:
- ( f(1) = 2 )
Dolayısıyla fonksiyonun görüntü kümesi ( f(A) = {0,1,2,3} ).
( A \cap f(A) ) kesişimi ise hem tanım kümesinde hem de görüntü kümesinde olan öğeler:
- ( A = {-1,0,1,2} )
- ( f(A) = {0,1,2,3} )
Kesiti: ( {0,1,2} )
Bu sette 3 farklı tam sayı vardır.
İçindekiler
Fonksiyon Tanım ve Görüntü Kümesi
Bir fonksiyonun tanım kümesi (domain), fonksiyonun alabileceği tüm ( x ) değerleridir. Grafikteki yatay eksendeki değer aralığıdır. Bu soruda ( x ) ekseni üzerindeki -1’den 2’ye kadar olan noktalar.
Görüntü kümesi (range) ise fonksiyonun tanım kümesindeki ( x ) için aldığı ( y ) değerleridir. Grafikte ( y ) eksenindeki fonksiyon değerleri.
Fonksiyon doğrusal olduğu için çizgi üzerindeki herhangi ( x ) için ( f(x) = mx + b ) formundadır. Burada:
- ( f(-1) = 0 )
- ( f(2) = 3 )
Eğim ( m = \frac{3 - 0}{2 - (-1)} = \frac{3}{3} = 1 )
Sabit terim ( b )’yi bulalım:
( 0 = 1 \cdot (-1) + b \implies b = 1 )
Dolayısıyla:
f(x) = x + 1
açıktır.
Kesişim Kümesinin Hesaplanması
Tanım kümesi ( A = {-1, 0, 1, 2} ).
Görüntü kümesi:
[
f(A) = {f(x) \mid x \in A} = {0, 1, 2, 3}
]
Kesişim kümesi ( A \cap f(A) = {0,1,2} ).
Böylece, kesişimde kaç farklı tam sayı var diye sorulduğunda cevap 3’tür.
Özet Tablo
| Küme | Elemanlar | Açıklama |
|---|---|---|
| Tanım Kümesi A | -1, 0, 1, 2 | Fonksiyonun (x) değerleri |
| Görüntü Kümesi (f(A)) | 0, 1, 2, 3 | (y = f(x)) değerleri |
| Kesişim (A \cap f(A)) | 0, 1, 2 | Hem tanım hem görüntüde olan tam sayılar |
Sıkça Sorulan Sorular
S1: Tanım kümesi nedir?
C: Fonksiyonun tanımlı olduğu (x) değerlerinin kümesidir.
S2: Görüntü kümesi nasıl bulunur?
C: Tanım kümesindeki (x) değerlerinin fonksiyondaki (y=f(x)) karşılıklarının oluşturduğu kümedir.
S3: Kesişim kümesi ne anlama gelir?
C: İki kümenin ortak elemanlarının oluşturduğu kümedir.
S4: Fonksiyonun doğrusal olması ne sağlar?
C: İki nokta arasında fonksiyon değerlerini eğim ve sabit terim kullanarak kolayca bulabilmeyi sağlar.
Bu açıklama yeterli oldu mu? Fonksiyonun grafikle matematiksel ifadeler arasındaki bağlantısını keşfetmek ister misin?
Aşağıdaki grafik ile tanımlı y = f(x) fonksiyonunun tanım kümesi A ise A ∩ f(A) kümesinde kaç farklı tam sayı vardır?
Önemli Çıkarımlar
- A tanım kümesi grafikte x ekseninde fonksiyonun tanımlı olduğu aralığı gösterir: A = [-1,2].
- Görüntü kümesi f(A), y ekseninde fonksiyonun aldığı değerlere karşılık gelir: f(A) = [0,3).
- Kesişim A ∩ f(A) = [-1,2] ∩ [0,3) = [0,2] olup içindeki tam sayılar: 0, 1, 2.
Doğrudan Cevap
A ∩ f(A) = [-1,2] ∩ [0,3) = [0,2] olduğundan 0, 1 ve 2 olmak üzere 3 farklı tam sayı vardır.
İçindekiler
Derinlemesine Açıklama
Grafikte:
- Başlangıçta (-1,0) noktasında dolgu daire var, bu f(-1)=0 demek.
- Kırmızı doğru, $x=-1$’den $x=2$’ye kadar uzanıyor.
- Uçta (2,3) noktası açık daire, burası fonksiyonun almadığı değeri gösterir.
- Ancak x=2 için grafikte alınan değer, x-ekseni üzerindeki dolu siyah nokta ile f(2)=0 olarak verilmiş.
Böylece:
- Tanım kümesi A = [−1, 2]
- Görüntü kümesi f(A) = [0, 3) (3 dahil değil)
- Kesişim A ∩ f(A) = [−1, 2] ∩ [0, 3) = [0, 2]
Bu aralıkta tam sayılar 0, 1 ve 2’dir.
Karşılaştırmalı Tablo
| Küme | Aralık | Tam Sayılar |
|---|---|---|
| A | [-1,2] | −1, 0, 1, 2 |
| f(A) | [0,3) | 0, 1, 2 |
| A ∩ f(A) | [0,2] | 0, 1, 2 |
Özet Tablo
| Adım | Sonuç |
|---|---|
| Tanım Kümesi A | [-1,2] |
| Görüntü Kümesi f(A) | [0,3) |
| A ∩ f(A) | [0,2] |
| İçindeki Tam Sayı Miktarı | 3 |
Sıkça Sorulan Sorular
- Açık daire ile dolgu daire arasındaki fark nedir?
- Tanım kümesini grafikten nasıl okuruz?
- Görüntü kümesi (f(A)) nasıl bulunur?
- A ∩ f(A) kesişimi nasıl yorumlanır?
Bu konuyla ilgili 3 adet benzer örnek soru çözmek ister misiniz? @Ahmet_Yusuf_Inci