MATEMATİK
.Aşağıdaki görselde, birbirine es küçük küpler kullanilarak oluşturulmus küp bicimindeki üg boyutlu bir model. gös-
erilmiştir.
3 Lth
Bir üç boyutlu yazıcIda bu model yeniden üretilecektir. Yeni modeldeki küçük küplerin her birinin ayrıt uzunluğu,
başlangiçtaki küçük küplerín ayrrt uzunluğunun 3 kạtı olacaktır. Modelde kulanilan küçük küp sayısı değişmeye-
cektir.
Buna göre yeni modelin hacmi, başlangıçtaki bir küçük küpün hacminin kaç katı olur?
A) 3
B) 3
C) 3
Küp Modellerinde Hacim ve Üslü İfadeler
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bir ayrıtı a olan küpün hacmi: V = a^3
- Üssün üssü kuralı: (x^m)^n = x^{m \cdot n}
- Tabanları aynı üslü ifadelerde çarpma kuralı: x^m \cdot x^n = x^{m+n}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Modeldeki Toplam Küçük Küp Sayısını Belirleme
Görseldeki büyük küp incelendiğinde; eninde 3, boyunda 3 ve yüksekliğinde 3 adet küçük küp olduğu görülür.
\text{Toplam küçük küp sayısı} = 3 \times 3 \times 3 = 3^3 = 27 \text{ adet}
Adım 2 — Başlangıçtaki ve Yeni Küçük Küplerin Hacimlerini İfade Etme
Başlangıçtaki bir küçük küpün ayrıt uzunluğuna a diyelim.
V_{\text{başlangıç küp}} = a^3
Yeni üretilecek küçük küplerin bir ayrıt uzunluğu başlangıçtakinin 3^2 katı olacağından, yeni bir ayrıt 3^2 \cdot a olur:
V_{\text{yeni küçük küp}} = (3^2 \cdot a)^3 = (3^2)^3 \cdot a^3 = 3^{2 \cdot 3} \cdot a^3 = 3^6 \cdot a^3
Adım 3 — Yeni Modelin Toplam Hacmini ve Kat Oranını Bulma
Modeldeki küp sayısı değişmediğinden (3^3 adet), yeni modelin toplam hacmi 3^3 adet yeni küçük küpün hacmine eşittir:
V_{\text{yeni model}} = 3^3 \cdot V_{\text{yeni küçük küp}} = 3^3 \cdot (3^6 \cdot a^3) = 3^{3+6} \cdot a^3 = 3^9 \cdot a^3
Yeni modelin hacminin, başlangıçtaki bir küçük küpün hacmine (a^3) oranı:
\text{Kat Oranı} = \frac{V_{\text{yeni model}}}{V_{\text{başlangıç küp}}} = \frac{3^9 \cdot a^3}{a^3} = 3^9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 3^9
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Boyut ve Hacim İlişkisi: Bir cismin doğrusal boyutları (ayrıtları) k katına çıktığında, hacmi k^3 katına çıkar. Bu soruda ayrıt 3^2 katına çıktığı için bir küpün hacmi (3^2)^3 = 3^6 katına çıkmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Sadece bir küçük küpün hacim artışını hesaplayıp (3^6) cevabı A şıkkı olarak işaretlemek.- Doğru Yaklaşım: Soru kökünde “yeni modelin hacmi” sorulduğundan, modelin içinde bulunan toplam 27 (3^3) adet küpün tamamını hesaba katmak.
Benzer bir üslü ifade ve hacim sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?