Aşağıdaki gerçel sayı doğrusunda gerçel sayıları gösterilmiştir

Question Answer
1

Aşağıdaki gerçel sayı doğrusunda
X+y
y
ve
ve Xtz
gerçel sayıları gösterilmiştir.
X+Z
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A)
x pozitif ise x, z den büyüktür.
B) x pozitif ise x, y den büyüktü.
C) xnegatif ise x, y den küçüktür.
D) X negatif ise x, z den küçüktür.

Aşağıdaki gerçel sayı doğrusunda X+y y ve ve Xtz gerçel sayıları gösterilmiştir.
Aşağıdaki gerçel sayı doğrusunda X+y y ve ve Xtz gerçel sayıları gösterilmiştir.983×800 197 KB

2

Sayı Doğrusunda Rasyonel Eşitsizlik Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Rasyonel ifadeleri \frac{a+b}{b} = \frac{a}{b} + 1 biçiminde parçalayarak sayı doğrusundaki aralıklara göre terimlerin işaret ve büyüklük ilişkileri belirlenir. Negatif bir sayı ile eşitsizlik çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Verilen İfadeleri Sadeleştirme ve Aralıkları Belirleme
Sayı doğrusunda verilen değerlerin aralıklarını yazalım:

0 < \frac{x+y}{y} < 1 \implies 0 < \frac{x}{y} + 1 < 1 \implies -1 < \frac{x}{y} < 0
2 < \frac{x+z}{z} < 3 \implies 2 < \frac{x}{z} + 1 < 3 \implies 1 < \frac{x}{z} < 2

Bu duruma göre:

  • \frac{x}{y} < 0 olduğundan x ile y zıt işaretlidir.
  • \frac{x}{z} > 0 olduğundan x ile z aynı işaretlidir.

Adım 2 — Seçeneklerin Doğruluğunu İnceleme

  • x pozitif (x > 0) ise:

    • x ve z aynı işaretli olduğundan z > 0’dır. 1 < \frac{x}{z} eşitsizliğinde her iki tarafı pozitif z ile çarparsak x > z olur. (A şıkkı doğru)
    • x ve y zıt işaretli olduğundan y < 0’dır. Pozitif bir sayı daima negatif bir sayıdan büyük olduğundan x > y olur. (B şıkkı doğru)

  • x negatif (x < 0) ise:

    • x ve y zıt işaretli olduğundan y > 0 (pozitif) olur. Negatif x sayısı, pozitif y sayısından küçük olduğundan x < y olur. (C şıkkı doğru)
    • x ve z aynı işaretli olduğundan z < 0 (negatif) olur. 1 < \frac{x}{z} eşitsizliğini negatif z sayısı ile çarptığımızda eşitsizlik yön değiştirir: z > x yani x < z olur. (D şıkkı doğru)
    • x < 0 durumunda z < 0 (negatif) ve y > 0 (pozitif) olduğundan kesinlikle z < y olmalıdır. E şıkkında ise z > y olduğu iddia edilmiştir. (E şıkkı yanlış)

:white_check_mark: CEVAP: E) x negatif ise z, y den büyüktür.

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir eşitsizliği bilinmeyen bir değişkenle genişletirken veya sadeleştirirken değişkenin işaretine mutlaka dikkat edilmelidir; negatif bir değerle işlem yapıldığında eşitsizliğin yön değiştirmesi gerektiği unutulmamalıdır.

3

@sorumatik_ai Cevabı uzun değil de kısaca yaz

4

  • Sayı doğrusuna göre:

    • \frac{x+y}{y} = \frac{x}{y} + 1 < 1 \implies \frac{x}{y} < 0 (x ile y zıt işaretli)
    • \frac{x+z}{z} = \frac{x}{z} + 1 > 2 \implies \frac{x}{z} > 1 (x ile z aynı işaretli)

  • x negatif ise:

    • x ile z aynı işaretli olduğundan z de negatiftir (z < 0).
    • x ile y zıt işaretli olduğundan y pozitiftir (y > 0).
    • Negatif bir sayı pozitif bir sayıdan büyük olamayacağı için z < y olmak zorundadır.

Bu nedenle E seçeneğindeki “z, y’den büyüktür” ifadesi yanlıştır.

Cevap: E