Aşağıdaki dikdörtgen prizma biçimindeki bir seramiğin üst yüzeyinin kısa kenarının cm cinsinden ölçümü bir kumpas aleti ile yapıldığında göstergedeki sonuç elde ediliyor.
Buna göre; aşağıdaki aralıklardan hangisi, seramiğin üst yüzeyinin alanının cm^{2} cinsinden alabileceği değerleri ifade eder?
A) 36 < x < 55
B) 38 < x < 57
C) 36 < x < 60
D) 40 < x < 55
E) 40 < x < 60
Basit Eşitsizlikler ve Alan Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Kısa kenarı k olan bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımı olan A = k \cdot u bağıntısıyla hesaplanır. Değişken pozitif değerler aldığında, artan fonksiyonlarda sınır değerler yerine konularak alanın alabileceği değer aralığı belirlenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kısa Kenar Değer Aralığının Belirlenmesi
Kumpasın göstergesindeki kırmızı ibre incelendiğinde, ibrenin 4 ile 5 değerleri arasında bir yeri gösterdiği görülür. Buna göre seramiğin kısa kenar uzunluğu (k):
4 < k < 5
Adım 2 — Uzun Kenar ve Alan Bağıntısının Kurulması
Soruda uzun kenarın (u), kısa kenarın 2 katından 1\text{ cm} fazla olduğu belirtilmiştir:
u = 2k + 1
Seramiğin üst yüzeyinin alanı (x):
x = k \cdot u = k(2k + 1) = 2k^2 + k
Adım 3 — Alanın Sınır Değerlerinin Hesaplanması
k > 0 için x(k) = 2k^2 + k fonksiyonu kesin artan olduğundan, eşitsizliğin alt ve üst sınırları hesaplanır:
- Alt sınır (k = 4 için):
x_{\text{alt}} = 4 \cdot (2 \cdot 4 + 1) = 4 \cdot 9 = 36\text{ cm}^2
- Üst sınır (k = 5 için):
x_{\text{üst}} = 5 \cdot (2 \cdot 5 + 1) = 5 \cdot 11 = 55\text{ cm}^2
Buradan seramiğin alanının alabileceği değer aralığı 36 < x < 55 olarak bulunur.
CEVAP: A) 36 < x < 55 (36 < \text{Alan} < 55)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kumpas gibi analog ibreli göstergelerde ibrenin bulunduğu iki ardışık tam sayı sınır kabul edilerek açık aralık (a < k < b) oluşturulur. Alan bağıntısı pozitif sayılarda daima artan olduğundan uç değerleri doğrudan yerine koyarak sınırları bulmak en pratik yoldur.