Aşağıdaki dikdörtgen biçimindeki mavi ve sarı renkli kartonların kenar uzunlukları santimetre cinsinden birer doğal sayıdır. Bu iki karton üst üste gelmeyecek ve aralarında boşluk kalmayacak biçimde eşit uzunlukta olan kenarlarından yapıştırılarak başka bir dikdörtgen elde edilmiştir.
Mavi renkli kartonun bir yüzünün alanı 60cm^2 ve sarı renkli kartonun bir yüzünün alanı 132cm^2 dir.
Buna göre x’in alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
Dikdörtgenlerde Alan ve EBOB ile Kenar Uzunluğu Optimizasyonu
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: İki dikdörtgen ortak bir kenar boyunca birleştirildiğinde, ortak kenar uzunluğu her iki dikdörtgenin alanlarının ortak bir böleni olmak zorundadır. Taban uzunlukları toplamının (x) en küçük değerini alabilmesi için, ortak yüksekliğin En Büyük Ortak Bölen (EBOB) değerine eşit olması gerekir:
x = \frac{\text{Alan}_1 + \text{Alan}_2}{h_{\text{en büyük}}}
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Ortak Kenar ve Değişkenlerin Tanımlanması
Mavi ve sarı dikdörtgenlerin yapıştırılan dikey ortak kenarına h, yatay kenarlarına sırasıyla a ve b diyelim. Şekilde verilen toplam yatay uzunluk x = a + b olur.
h \cdot a = 60 \implies a = \frac{60}{h}
h \cdot b = 132 \implies b = \frac{132}{h}
x = a + b = \frac{60 + 132}{h} = \frac{192}{h}
Adım 2 — Ortak Kenarın En Büyük Değerini (EBOB) Bulma
x’in en küçük doğal sayı değerini alması için paydada yer alan ortak kenar h’nin alabileceği en büyük değer, yani \text{EBOB}(60, 132) bulunmalıdır.
60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5
132 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11
\text{EBOB}(60, 132) = 2^2 \cdot 3 = 12\text{ cm}
Adım 3 — x Değerinin Hesaplanması
Ortak kenar h = 12\text{ cm} olarak yerine yazıldığında yatay kenarlar ve x değeri elde edilir:
a = \frac{60}{12} = 5\text{ cm}, \quad b = \frac{132}{12} = 11\text{ cm}
x = 5 + 11 = 16\text{ cm}
CEVAP: C) 16 (x = 16\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kenarları doğal sayı olan alan parçalama sorularında, toplam kenar uzunluğunu en aza indirmek için ortak kenarı her zaman iki alanın \text{EBOB}'u olarak seçmelisiniz. Ortak bölen büyüdükçe taban kenarları küçülür.