Aşağıdaki dik koordinat sisteminde [0, 1] aralığında tanımlı f , g ve h fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
x ın [0, 1] olmak üzere her x gerçek sayısı için f(x) > h(x)'tir.
Buna göre
a = (f irc g)(1), b = (h irc g)(1) ve c = (f irc h)(1)
sayılarının küçükten büyüğe sıralaması aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?
A) a < b < c
B) a < c < b
C) b < a < c
D) b < c < a
E) c < a < b
Fonksiyon Grafikleri ve Bileşke Fonksiyon Sıralaması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bileşke fonksiyon tanımı: (f \circ g)(x) = f(g(x))
- Azalan fonksiyon özelliği: x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)
- Verilen eşitsizlik: Her x \in [0, 1] için f(x) > h(x)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Grafikleri Fonksiyonlarla Eşleştirme
Her x \in [0, 1] için f(x) > h(x) olduğu verilmiştir. Yani f(x)'in grafiği, [0, 1] aralığının tamamında h(x)'in grafiğinin kesinlikle üzerinde kalmalıdır:
- Siyah eğri, diğer iki grafiği kestiği (bazen altında, bazen üstünde olduğu) için f(x) veya h(x) olamaz. Dolayısıyla siyah eğri g(x) fonksiyonuna aittir.
- Mavi doğru, [0, 1] aralığının tamamında kırmızı doğrunun üzerinde yer aldığından; mavi doğru f(x), kırmızı doğru ise h(x) fonksiyonudur.
Adım 2 — a, b ve c Değerlerini Belirleme
Grafikten x = 1 noktasındaki değerleri inceleyelim:
- Siyah eğri (1, 1) noktasından geçtiği için: g(1) = 1
- a = (f \circ g)(1) = f(g(1)) = f(1)
- b = (h \circ g)(1) = h(g(1)) = h(1)
- c = (f \circ h)(1) = f(h(1))
Adım 3 — Değerleri Karşılaştırma
-
a ile b’nin karşılaştırılması:
Tüm x \in [0, 1] için f(x) > h(x) olduğundan, x = 1 için de:f(1) > h(1) \implies a > b \quad (b < a) -
a ile c’nin karşılaştırılması:
- Mavi doğru (f(x)), [0, 1] aralığında aşağı yönlü yani azalan bir fonksiyondur.
- h(1) değeri grafikten görüldüğü üzere 0 ile 1 arasındadır (h(1) < 1).
- f azalan bir fonksiyon olduğundan küçük girdiler daha büyük çıktılar verir:
h(1) < 1 \implies f(h(1)) > f(1) \implies c > a \quad (a < c)
Bulunan iki eşitsizliği birleştirdiğimizde:
b < a < c
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) b < a < c
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Bileşke Fonksiyon: Bir fonksiyonun çıktısının diğer bir fonksiyona girdi olarak verilmesidir.
- Azalan Fonksiyon: Tanım kümesinde x değerleri arttıkça fonksiyonun aldığı y değerlerinin küçülmesidir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: f(h(1)) değerini yorumlarken f’in azalan olduğunu dikkate almayıp h(1) < 1 olduğundan f(h(1)) < f(1) varsaymak.- Doğru Yaklaşım: Azalan fonksiyonlarda girdi küçüldükçe fonksiyonun değeri artar (x_1 < x_2 \implies f(x_1) > f(x_2)).
Benzer bir grafikli bileşke fonksiyon sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?
@sorumatik_ai Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
Grafik ve Bileşke Fonksiyon Mantığının Detaylı Açıklaması
Bu soruyu çözmek için dedektif gibi iki temel ipucunu takip ediyoruz:
- Çizgilerin hangi fonksiyona ait olduğunu bulmak
- Bileşke fonksiyonları adım adım içeriye doğru hesaplayıp grafikten okumak
1. Adım: Hangi Renk Hangi Fonksiyon?
Soruda verilen en önemli ipucu şudur:
“Her x için f(x) > h(x)'tir.”
Bu ifade geometrik olarak şu anlama gelir: f(x)'in grafiği, aralığın başından sonuna kadar daima h(x)'in grafiğinin üstünde kalmalıdır; bu iki grafik asla kesişemez.
- Siyah eğriye bakalım: U biçimindeki siyah eğri, kırmızı çizgiyi kesip altına iniyor, sonra tekrar yükselip maviyi de kesiyor. Yani hiçbir çizginin sürekli üstünde veya altında kalamıyor. Dolayısıyla siyah eğri f(x) de olamaz, h(x) de olamaz. Bu durumda siyah eğri kesinlikle g(x) fonksiyonudur.
- Mavi ve kırmızı çizgilere bakalım: Mavi doğru baştan sona kırmızı doğrunun yukarısındadır.
- Üstte olan: Mavi doğru = f(x)
- Altta olan: Kırmızı doğru = h(x)
2. Adım: a, b ve c İfadelerini Sadeleştirelim
Bileşke fonksiyon kuralına göre (f \circ g)(x) = f(g(x)) şeklinde yazılır. Yani işlemi en içteki parantezden yapmaya başlarız:
- Grafikte x = 1 hizasına baktığımızda, siyah eğrinin (g) ulaştığı nokta tam olarak 1’dir. Yani:g(1) = 1
Şimdi bu değeri a ve b ifadelerinde yerine koyalım:
- a = (f \circ g)(1) = f(g(1)) = \mathbf{f(1)}
- b = (h \circ g)(1) = h(g(1)) = \mathbf{h(1)}
- c = (f \circ h)(1) = \mathbf{f(h(1))}
3. Adım: Değerleri Birbiriyle Kıyaslayalım
a ile b’nin Kıyaslanması (f(1) mi büyük, h(1) mi?)
Grafikte tam x = 1 düşey çizgisine bakalım:
- Mavi çizgi (f(1)), kırmızı çizgiden (h(1)) daha yukarıdadır.
- Dolayısıyla:f(1) > h(1) \implies a > b \quad \text{yani} \quad \mathbf{b < a}
a ile c’nin Kıyaslanması (f(1) mi büyük, f(h(1)) mi?)
- h(1) değerine bakalım: Kırmızı doğrunun x = 1’deki değeri 0 ile 1 arasında bir sayıdır (örneğin yaklaşık 0{,}4 gibi bir değer).
- Yani h(1) < 1’dir.
- Mavi doğruya (f) dikkat edersek: x değeri küçüldükçe (yani sola doğru gittikçe) grafik yukarı çıkmaktadır (azalan fonksiyondur).
- Girdi küçüldükçe sonuç büyür. h(1), 1’den daha küçük bir sayı olduğu için mavi grafikte daha soldadır ve değeri daha yüksektir:f(h(1)) > f(1) \implies \mathbf{c > a}
4. Adım: Parçaları Birleştirme
Elimizdeki iki sonucu bir araya getirdiğimizde:
- b, a’dan küçüktür (b < a)
- a, c’den küçüktür (a < c)
b < a < c
Doğru sıralama C seçeneğidir.
Bu adımlardan zihninde tam oturmayan veya grafikten okunmasını tekrar göstermemi istediğin özel bir nokta var mı?