Aşağıdaki dik koordinat düzleminde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Dik koordinat düzlemindeki yeşil renk ile boyalı bölgenin alanını veren g(x) fonksiyonunun kuralı aşağıdakilerden hangisidir?
A) \frac{x^2 - 4x}{4}
B) \frac{(x - 4)^2}{4}
C) \frac{x - 4}{2}
D) \frac{(x - 4)^2}{8}
E) \frac{x dot (x - 4)}{2}
Doğrusal Fonksiyon Grafiğinde Alan Fonksiyonu Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Eksenleri kestiği noktaları (a, 0) ve (0, b) olan bir doğrunun denklemi \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 bağıntısıyla bulunur; dik üçgenin alanı ise dik kenarların çarpımının yarısına (\text{Alan} = \frac{\text{taban} \cdot \text{yükseklik}}{2}) eşittir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — f(x) Doğrusunun Denklemini Bulma
Grafikte f(x) doğrusu x eksenini (4, 0), y eksenini ise (0, -2) noktasında kesmektedir. Eksenleri kesen doğru denkleminden:
\frac{x}{4} + \frac{y}{-2} = 1 \implies \frac{x}{4} - 1 = \frac{y}{2} \implies f(x) = \frac{x - 4}{2}
Adım 2 — Yeşil Dik Üçgenin Kenar Uzunlukları ve Alanı
Yeşil bölge, hipotenüsü doğru üzerinde bulunan bir dik üçgendir:
- Yatay dik kenar (taban): x ekseni üzerinde 4 ile x arasındaki uzaklık olup x - 4 birimdir.
- Düşey dik kenar (yükseklik): Doğrunun x noktasındaki görüntüsü olan f(x) = \frac{x - 4}{2} birimdir.
Bu dik üçgenin alanını veren g(x) fonksiyonu:
g(x) = \frac{\text{Taban} \cdot \text{Yükseklik}}{2} = \frac{(x - 4) \cdot \left(\frac{x - 4}{2}\right)}{2} = \frac{(x - 4)^2}{4}
CEVAP: B) \frac{(x - 4)^2}{4} (g(x) = \frac{(x - 4)^2}{4})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tür alan fonksiyonu sorularında x yerine 4’ten büyük pratik bir değer (örneğin x = 6) vererek doğrunun ordinatını ve üçgenin alanını hesaplayabilir, çıkan sayısal değeri seçeneklerde x yerine yazıp sağlamasını hızlıca yapabilirsiniz.