Örnek 3
Aşağıdaki dik koordinat düzleminde f fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
x
Buna göre,
(x-1) dot f(x) > 0
eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
(x-1) \cdot f(x) \geq 0 Eşitsizliğinin Çözüm Kümesi
KULLANILAN YÖNTEM: Bu tür eşitsizlik sorularında, ifadeyi oluşturan her bir çarpanın köklerini bularak bir işaret tablosu oluşturmak en güvenli yoldur.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Çarpanların Köklerini Belirleme
Eşitsizliği sıfıra eşitleyen x değerlerini bulalım:
- Birinci çarpan: x - 1 = 0 \implies x = 1
- İkinci çarpan (f(x)): Grafiğe baktığımızda, fonksiyonun x eksenini kestiği veya teğet olduğu noktalar köklerdir.
- x = -3 noktasında grafik teğet olduğu için burada çift katlı kök vardır.
- x = 6 noktasında grafik ekseni kesip geçtiği için burada tek katlı kök vardır.
Adım 2 — İşaret Tablosu Hazırlama
Bulduğumuz kökleri küçükten büyüye sıralayalım: -3 (çift katlı), 1 ve 6.
- f(x)'in işareti: Grafik x=6’nın sağında eksenin altında kaldığı için f(x) fonksiyonu (-) işaretle başlar.
- (x-1)'in işareti: x, 1’den büyük değerler için (+) işaretlidir.
- Genel İşaret: (-) \cdot (+) = (-). Tabloya en sağdan (-) ile başlıyoruz.
Adım 3 — Tabloyu Doldurma
- x > 6 için: İşaret (-)
- 1 < x < 6 aralığı: Tek katlı kökten geçtik, işaret (+) oldu.
- -3 < x < 1 aralığı: Tek katlı kökten geçtik, işaret (-) oldu.
- x < -3 aralığı: Çift katlı kökten (-3) geçtiğimiz için işaret değişmez, (-) kalır.
| x | -\infty | -3 | 1 | 6 | +\infty | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| (x-1) \cdot f(x) | - | 0 | - | 0 | + | 0 | - |
Adım 4 — Çözüm Kümesini Belirleme
Soru bizden ifadenin \geq 0 (pozitif veya sıfır) olduğu yerleri istiyor:
- Tabloya göre pozitif olan aralık: [1, 6].
- Ayrıca ifadeyi sıfır yapan tüm kökler dahil edilmelidir. x = -3 kökü ifadeyi sıfır yaptığı için çözüm kümesine eklenmelidir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Ç.K. = [1, 6] \cup \{-3\}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çift Katlı Kök
- Tanım: Grafiğin x eksenine teğet olduğu noktalardır.
- Bu problemde: x = -3 noktasında işaret değişmediği için tabloya çift katlı olarak yansıtılmıştır.
2. Eşitsizlikte Dahiliyet (\geq)
- Tanım: Eşitsizlik sembolünde çizgi varsa, paydayı tanımsız yapmayan tüm kökler köşeli parantez ile çözüme dahil edilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
-3 Kökünü Unutmak
- Yanlış: Sadece pozitif aralığı görüp [1, 6] yazmak.
- Doğru: \geq 0 dendiği için sonucu sıfır yapan -3 değeri tek başına da olsa kümeye eklenmelidir.
- Neden: Çünkü (-3 - 1) \cdot f(-3) = -4 \cdot 0 = 0 olur ve 0 \geq 0 şartı sağlanır.
Bu çözümde çift katlı köklerin işaret tablosundaki etkisini anlamak çok önemlidir. Benzer bir grafik sorusu üzerinde pratik yapmak ister misin?