Aşağıdaki cetvelde 0 ile 1 tam sayılarının arası iki eş aralığa, sonraki her ardışık iki tam sayının arası ise bir

YKS TYT
1

Aşağıdaki cetvelde 0 ile 1 tam sayılarının arası iki eş aralığa, sonraki her ardışık iki tam sayının arası ise bir önceki ardışık iki tam sayının bölündüğü aralık sayısından 1 fazla sayıda eş aralığa bölünmüştür.
Cetveldeki her ölçüm çizgisi bir rasyonel sayıyı değerini göstermektedir. Örneğin soldan 3. ölçüm çizgisi 1 sayısını, soldan 8. ölçüm çizgisi 2,5 sayısını belirtmektedir.
Buna göre bu cetvelde soldan 50. ölçüm çizgisinin belirttiği sayının ondalık gösterimindeki rakamların toplamı kaçtır?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17

Aşağıdaki cetvelde 0 ile 1 tam sayılarının arası iki eş aralığa, sonraki her ardışık...
Aşağıdaki cetvelde 0 ile 1 tam sayılarının arası iki eş aralığa, sonraki her ardışık...800×910 65.9 KB

2

Cetvel Üzerindeki Ölçüm Çizgilerinin Belirlediği Rasyonel Sayılar

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • İki tam sayı arasındaki aralık sayısı her adımda 1 artar:
    • [0, 1] aralığı \rightarrow 2 aralık
    • [1, 2] aralığı \rightarrow 3 aralık
    • [n-1, n] aralığı \rightarrow n + 1 aralık
  • n tam sayısına karşılık gelen çizgi numarası:
    Ç_n = 1 + \sum_{i=2}^{n+1} i = \frac{(n+1)(n+2)}{2}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Tam sayılara karşılık gelen çizgi sıralarını belirleyelim

  • İlk çizgi (0 sayısı) soldan 1. çizgidir.
  • 1 sayısı: 1 + 2 = 3. çizgi (Örnekte verildiği gibi)
  • 2 sayısı: 3 + 3 = 6. çizgi
  • 2{,}5 sayısı: 2 sayısından sonraki 2. çizgi olup 6 + 2 = 8. çizgidir (Örnekte verildiği gibi)
  • 3 sayısı: 6 + 4 = 10. çizgi
  • 4 sayısı: 10 + 5 = 15. çizgi
  • 5 sayısı: 15 + 6 = 21. çizgi
  • 6 sayısı: 21 + 7 = 28. çizgi
  • 7 sayısı: 28 + 8 = 36. çizgi
  • 8 sayısı: 36 + 9 = 45. çizgi
  • 9 sayısı: 45 + 10 = 55. çizgi

Adım 2 — Soldan 50. ölçüm çizgisinin değerini hesaplayalım
Soldan 45. çizgi 8 tam sayısını temsil eder. Soldan 50. çizgi ise 8 ile 9 tam sayıları arasında yer alır.

  • 8 ile 9 arası 10 eş aralığa bölünmüştür.
  • Ardışık iki çizgi arasındaki mesafe:
    \frac{1}{10} = 0{,}1
  • 50. çizgi, 45. çizgiden (8 tam sayısından) sonraki 5. çizgidir (50 - 45 = 5):
    8 + 5 \times 0{,}1 = 8 + 0{,}5 = 8{,}5

Adım 3 — Ondalık gösterimdeki rakamların toplamını bulalım
Bulunan sayı 8{,}5’tir. Bu sayının rakamları 8 ve 5’tir:

8 + 5 = 13

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A — 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Eş Parçalara Bölünmüş Sayı Doğrusu: Bir aralık k eşit parçaya bölündüğünde, her bir parça uzunluğu \frac{\text{Aralık Uzunluğu}}{k} olur.
  • Ardışık Toplam: Çizgi numaraları 1’den başlayarak ardışık aralık sayılarının toplanmasıyla elde edilen bir aritmetik dizi modelidir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: 0 noktasını çizgi olarak saymayıp 1 sayısını 2. çizgi kabul etmek.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Soru metnindeki “soldan 3. ölçüm çizgisi 1 sayısını gösterir” bilgisine dikkat edilerek 0’ın 1. çizgi olduğu hesaba katılmalıdır.

Benzer bir sayı doğrusu veya cetvel sorusuyla pekiştirme yapmak ister misiniz?

3

@sorumatik_ai Yukarıdaki formülde ntam sayısına karşılık gelen yanlışsın ya Ne demek istedin orada

4

Haklısın, oradaki sembolik gösterim (\sum toplam sembolü) ilk bakışta karışık ve kafa karıştırıcı görünmüş olabilir. Gel, o formülün ne anlama geldiğini ve nasıl çıktığını ezber yapmadan, adım adım en sade hâliyle inceleyelim.

Formülün Mantığı ve Çıkış Yolu

Cetveldeki çizgileri sayarken tam sayılara nasıl ulaştığımıza bakalım:

  • 0 sayısı: En baştaki çizgidir \rightarrow 1. çizgi
  • 1 sayısı: 0’dan 1’e gitmek için 2 aralık ilerleriz \rightarrow 1 + 2 = 3. çizgi
  • 2 sayısı: 1’den 2’ye gitmek için 3 aralık ilerleriz \rightarrow 1 + 2 + 3 = 6. çizgi
  • 3 sayısı: 2’den 3’e gitmek için 4 aralık ilerleriz \rightarrow 1 + 2 + 3 + 4 = 10. çizgi
  • 4 sayısı: 3’ten 4’e gitmek için 5 aralık ilerleriz \rightarrow 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15. çizgi

Dikkat edersen, herhangi bir n tam sayısına karşılık gelen çizgi sırasını bulmak için aslında 1’den (n+1)'e kadar olan sayıları topluyoruz:

\text{Çizgi Sırası} = 1 + 2 + 3 + \dots + (n + 1)

Gauss Toplam Formülü ile İlişkisi

Matematikten bildiğimiz üzere, 1’den k’ye kadar olan ardışık sayıların toplamı:

\frac{k \cdot (k + 1)}{2}

Burada son terimimiz k = n + 1 olduğu için:

\text{Çizgi Sırası} = \frac{(n + 1) \cdot ((n + 1) + 1)}{2} = \frac{(n + 1)(n + 2)}{2}

Birlikte Test Edelim:

  • n = 1 için: \frac{(1+1)(1+2)}{2} = \frac{2 \times 3}{2} = \mathbf{3.} çizgi (Soruda verilen örnekle birebir tutuyor)
  • n = 2 için: \frac{(2+1)(2+2)}{2} = \frac{3 \times 4}{2} = \mathbf{6.} çizgi
  • n = 8 için: \frac{(8+1)(8+2)}{2} = \frac{9 \times 10}{2} = \mathbf{45.} çizgi

Yani o formül, tek tek 1+2+3+4+5+6+7+8+9 diye elle toplamak yerine, doğrudan 8 tam sayısının 45. çizgi olduğunu tek işlemde bulmamızı sağlayan pratik bir kuraldır.

Bu açıklama ile mantığı kafana tam olarak oturdu mu, aklına takılan başka bir ayrıntı var mı?

5

@sorumatik_ai Cevabı uzun değil de kısaca yaz

6

Kısaca Çözüm:

  1. Tam sayıların denk geldiği çizgiler:

    • 0 \rightarrow 1. çizgi
    • 1 \rightarrow 1 + 2 = 3. çizgi
    • 2 \rightarrow 3 + 3 = 6. çizgi
    • 3 \rightarrow 6 + 4 = 10. çizgi
    • …
    • 8 \rightarrow 45. çizgi

  2. 50. çizginin değeri:

    • 50. çizgi, 8’den sonraki 5. çizgidir (50 - 45 = 5).
    • 8 ile 9 arası 10 parçaya bölündüğünden her aralık 0{,}1’dir.
    • Değer: 8 + (5 \times 0{,}1) = \mathbf{8{,}5}

  3. Rakamlar toplamı:

    8 + 5 = \mathbf{13}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━