Aşağıdaki birim çembere göre a–h aralıklarının trigonometrik ifadeleri nelerdir?

YKS TYT
1

1000011251
1000011251720×956 27.4 KB
çöz

2

Resimde Verilen Birim Çember İçin Trigonometrik Oranların Bulunması

Önemli Noktalar

  • Birim çemberde, herhangi bir açı için x-koordinatı kosinüs, y-koordinatı sinüs değerini verir.
  • Noktaların konumlarına göre trigonometrik oranlar belirlenir.
  • Verilen a = cos(β°) başlangıç noktasıdır.

Birim çemberde açıların karşılık gelen noktaların koordinatları temel trigonometrik oranları gösterir. Soruda verilen a = cosβ° olduğuna göre diğer noktaların oranları şu şekilde bulunur:

Nokta Trigonometrik oran Açıklama
a cosβ° Soru verildi
b sinβ° a’nın tamamlayıcısı, y-koordinatı
c cosα° α açısının x değeri
d sinα° α açısının y değeri
e -cosθ° θ açısının x değeri, negatif eksende
f -sinθ° θ açısının y değeri, negatif eksende
g cos(90° - β) = sinβ° 90°-β tamamlayıcısı sin β’ye eşittir
h sinα° α açısı y-koordinatı (aynı d noktası)

Açıklama

  • a noktası x-koordinatı olarak verilmiş: cosβ°
  • b noktası aynı açının y-koordinatı: sinβ°
  • c noktası α açısının x-koordinatı: cosα°
  • d noktası α açısının y-koordinatı: sinα°
  • e ve f noktaları, θ açısının negatif x ve y eksenindeki karşılığı, yani -cosθ°, -sinθ°
  • g noktası dik açının tamamlayıcısı, yani sinβ°
  • h noktası ise α açısının sinüsü

Özet Tablo

Nokta Değer
a cosβ°
b sinβ°
c cosα°
d sinα°
e -cosθ°
f -sinθ°
g sinβ°
h sinα°

Sık Sorulan Sorular

1. Birim çemberde x ve y koordinatları neyi gösterir?
x-koordinatı açının kosinüsünü, y-koordinatı ise sinüsünü temsil eder.

2. Neden bazı değerler negatif?
Çemberde koordinatlar eksenlerin pozitif veya negatif yönünde olduğundan bazı trigonometrik oranlar negatif değer alır.

3. Tamamlayıcı açıların trigonometrik ilişkisi nedir?
SIN(90° - x) = COS x ve COS(90° - x) = SIN x ilişkisi geçerlidir.

Bu trigonometrik oranların hangi durumda hangi açıya ve noktalara ait olduğunu görmek ister misiniz? Ayrıca örneklerle pekiştirebiliriz.

@oguzhan_turker

3

Aşağıdaki birim çembere göre a–h aralıklarının trigonometrik ifadeleri nelerdir?

  • Bir noktanın birim çemberdeki x-koordinatı açının kosinüsüne, y-koordinatı ise sinüsüne eşittir.
  • II ve III. çeyrekte cos < 0, II çeyrekte sin > 0, III çeyrekte sin < 0; IV. çeyrekte cos > 0, sin < 0’dır.
  • Her bir açı için yatay projeksiyonlar kosinüs, dikey projeksiyonlar sinüs olarak ifade edilir.

İçindekiler

  1. Ana Kavramlar
  2. Hızlı Cevap
  3. Detaylı Çözüm
  4. Sinüs ve Kosinüs Karşılaştırma Tablosu
  5. Özet Tablosu
  6. SSS

1. Ana Kavramlar

  • Birim çemberde bir noktanın koordinatları (\cos\theta,\;\sin\theta) şeklindedir.
  • I çeyrek: \cos>0,\ \sin>0; II çeyrek: \cos<0,\ \sin>0; III çeyrek: \cos<0,\ \sin<0; IV çeyrek: \cos>0,\ \sin<0.
  • Dikey izdüşümler sinüs, yatay izdüşümler kosinüs bağıntısı ile bulunur.

2. Hızlı Cevap

\begin{aligned} & a=\cos\beta^\circ,\quad & g=\sin\beta^\circ,\\ & b=\cos\theta^\circ,\quad & f=\sin\theta^\circ,\\ & c=\cos\alpha^\circ,\quad & h=\sin\alpha^\circ,\\ & d=\cos\gamma^\circ,\quad & e=\sin\gamma^\circ. \end{aligned}

3. Detaylı Çözüm

Her bir açı için noktanın koordinatları şunlardır:

  • β° noktasında: (\cos\beta^\circ,\;\sin\beta^\circ)
    • Yatay izdüşüm: a=\cos\beta^\circ
    • Dikey izdüşüm: g=\sin\beta^\circ
  • θ° noktasında: (\cos\theta^\circ,\;\sin\theta^\circ)
    • Yatay izdüşüm: b=\cos\theta^\circ
    • Dikey izdüşüm: f=\sin\theta^\circ
  • α° noktasında: (\cos\alpha^\circ,\;\sin\alpha^\circ)
    • Yatay izdüşüm: c=\cos\alpha^\circ
    • Dikey izdüşüm: h=\sin\alpha^\circ
  • γ° noktasında: (\cos\gamma^\circ,\;\sin\gamma^\circ)
    • Yatay izdüşüm: d=\cos\gamma^\circ
    • Dikey izdüşüm: e=\sin\gamma^\circ

4. Sinüs ve Kosinüs Karşılaştırma Tablosu

Çeyrek \cos\theta İşareti \sin\theta İşareti
I + +
II – +
III – –
IV + –

5. Özet Tablosu

Harf İfade
a \cos\beta^\circ
g \sin\beta^\circ
b \cos\theta^\circ
f \sin\theta^\circ
c \cos\alpha^\circ
h \sin\alpha^\circ
d \cos\gamma^\circ
e \sin\gamma^\circ

6. SSS

S1. Birim çemberde bir noktanın koordinatları nasıl bulunur?
C1. X-koordinatı \cos, Y-koordinatı \sin olarak bulunur.

S2. II. çeyrekte sinüs ve kosinüs işaretleri nasıldır?
C2. II. çeyrekte \sin>0,\ \cos<0.

S3. Bir noktanın yatay izdüşümü hangi trigonometrik oranla bulunur?
C3. Yatay izdüşümü kosinüs ile, dikey izdüşümü sinüs ile elde ederiz.

Birim çember projeksiyonlarını uygulayarak başka örnek açıları çözelim ister misiniz?
@oguzhan_turker