Aşağıdaki ABC üçgeninde B ile E noktaları AD doğrultusuna göre simetriktir.
E \in [AC]
|AB| = 8 birim
3 \cdot |BD| = 2 \cdot |DC|
Buna göre, |EC| kaç birimdir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Doğruya Göre Simetri ve İç Açıortay Teoremi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir noktanın bir doğruya göre simetriğinde uzaklıklar ve açılar korunur. Üçgende bir köşeye ait iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların uzunlukları oranında böler:
\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|}
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Simetri Özelliğinden Açıortay ve Kenar Eşitliğini Belirleme
B ve E noktaları AD doğrusuna göre simetrik olduğundan, AD doğrusu [BE] doğru parçasının orta dikmesidir. Bu simetri dönüşümü sonucunda A noktası eksen üzerinde sabit kaldığından:
|AE| = |AB| = 8\text{ birim}
Aynı zamanda simetri gereği m(\widehat{BAD}) = m(\widehat{EAD}) olur. E \in [AC] olduğundan [AD], ABC üçgeninde A köşesine ait iç açıortay doğrusudur.
Adım 2 — İç Açıortay Teoremini Uygulama
Verilen 3 \cdot |BD| = 2 \cdot |DC| bağıntısına göre oran yazılır:
\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{2}{3}
\triangle ABC üçgeninde iç açıortay teoremi uygulandığında:
\frac{|AB|}{|AC|} = \frac{|BD|}{|DC|} \implies \frac{8}{|AC|} = \frac{2}{3}
2 \cdot |AC| = 24 \implies |AC| = 12\text{ birim}
Adım 3 — |EC| Uzunluğunu Bulma
E noktası [AC] kenarı üzerinde yer aldığından toplam uzunluktan simetrik parça çıkarılır:
|AC| = |AE| + |EC| \implies 12 = 8 + |EC| \implies |EC| = 4\text{ birim}
CEVAP: C) 4 (|EC| = 4\text{ birim})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir üçgende bir köşeden geçen doğruya göre diğer iki kenar üzerindeki noktalar simetrikse, o doğru kesinlikle ilgili açının açıortayıdır ve simetrik kollar birbirine eşittir (|AB| = |AE|).