Buna göre hangi fotoğrafın alanı diğerlerinden daha büyüktür?
A) Şehirde
B) Şehir dışında
C) Köyde
D) Doğada
Aşağıda, Yaman’ın dikdörtgen şeklindeki alanları a ve b olan iki fotoğrafının kenar uzunlukları gösterilmiştir.
B) Şehir dışında fotoğrafının kenar uzunlukları \frac{5}{4} m ve \frac{3}{5} m' dir.
Fotoğrafların Alanlarının Hesaplanması ve Karşılaştırılması
KULLANILAN KURAL VE FORMÜL:
Dikdörtgenin alanı, farklı iki kenar uzunluğunun (kısa kenar ile uzun kenar) çarpımına eşittir:
\text{Alan} = a \cdot b
Rasyonel sayılarda (kesirlerde) çarpma işlemi yapılırken paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır veya varsa sadeleştirme uygulanır:
\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — “Şehirde” Fotoğrafının Alanını Hesaplama
Kenar uzunlukları \frac{6}{7}\text{ m} ve \frac{7}{10}\text{ m} olarak verilmiştir.
\text{Alan}_{\text{Şehirde}} = \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{10} = \frac{6 \cdot 7}{7 \cdot 10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\text{ m}^2
Adım 2 — “Şehir Dışında” Fotoğrafının Alanını Hesaplama
Kenar uzunlukları \frac{4}{3}\text{ m} ve \frac{3}{5}\text{ m} olarak verilmiştir.
\text{Alan}_{\text{Şehir Dışında}} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 5} = \frac{4}{5}\text{ m}^2
Adım 3 — “Köyde” Fotoğrafının Alanını Hesaplama
Kenar uzunlukları \frac{5}{4}\text{ m} ve \frac{2}{5}\text{ m} olarak verilmiştir.
\text{Alan}_{\text{Köyde}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{5 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\text{ m}^2
Adım 4 — “Doğada” Fotoğrafının Alanını Hesaplama
Kenar uzunlukları \frac{4}{5}\text{ m} ve \frac{3}{4}\text{ m} olarak verilmiştir.
\text{Alan}_{\text{Doğada}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 4} = \frac{3}{5}\text{ m}^2
Adım 5 — Elde Edilen Alanların Karşılaştırılması
Tüm alanları paydalarını 10 yaparak veya ondalık gösterime çevirerek karşılaştıralım:
- Şehirde: \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0{,}6\text{ m}^2
- Şehir Dışında: \frac{4}{5} = \frac{8}{10} = 0{,}8\text{ m}^2
- Köyde: \frac{1}{2} = \frac{5}{10} = 0{,}5\text{ m}^2
- Doğada: \frac{3}{5} = \frac{6}{10} = 0{,}6\text{ m}^2
Karşılaştırma sıralaması:
\frac{4}{5} > \frac{3}{5} = \frac{3}{5} > \frac{1}{2} \implies 0{,}8 > 0{,}6 = 0{,}6 > 0{,}5
En büyük alan 0{,}8\text{ m}^2 (\frac{4}{5}\text{ m}^2) ile Şehir Dışında fotoğrafına aittir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) Şehir dışında
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Rasyonel Sayılarda Çarpma ve Sadeleştirme
- Tanım: İki kesir çarpılırken pay ile payda arasında ortak bölen varsa, işlem yapılmadan önce sadeleştirme yapılarak işlem kolaylaştırılır.
- Bu problemde: Örneğin \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} çarpımında paydaki 3 ile paydadaki 3 birbirini sadeleştirir ve geriye doğrudan \frac{4}{5} kalır.
2. Kesirlerde Sıralama ve Karşılaştırma
- Tanım: Paydaları eşit olan pozitif kesirlerden payı büyük olan kesir daha büyüktür.
- Bu problemde: Bulunan \frac{6}{10}, \frac{8}{10}, \frac{5}{10} ve \frac{6}{10} kesirleri arasında en büyük pay 8 olduğundan en büyük değer \frac{8}{10}'dur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kesirlerde Çarpma Yerine Payda Eşitlemeye Çalışmak
- Yanlış: Çarpma işleminde paydaları eşitlemeye çalışıp işlemi gereksiz yere uzatmak.
- Doğru: Çarpma işleminde doğrudan pay ile pay, payda ile payda çarpılır ya da çapraz sadeleştirme uygulanır.
- Neden yanlış: Payda eşitleme sadece toplama ve çıkarma işlemlerinde gereklidir; çarpmada sadeleştirme yapmak hem zamandan kazandırır hem de işlem hatası riskini azaltır.
Benzer bir rasyonel sayılarda alan ve karşılaştırma sorusuyla pratik yapmak ister misin?
Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Fotoğrafların Alanlarının Kısa Çözümü
KULLANILAN FORMÜL: \text{Alan} = a \cdot b
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Alanları Hesaplama (Sadeleştirme ile)
- Şehirde: \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{10} = \frac{6}{10} = 0{,}6\text{ m}^2
- Şehir Dışında: \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{4}{5} = 0{,}8\text{ m}^2
- Köyde: \frac{5}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0{,}5\text{ m}^2
- Doğada: \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{5} = 0{,}6\text{ m}^2
Adım 2 — Karşılaştırma
0{,}8 > 0{,}6 = 0{,}6 > 0{,}5
En büyük alan 0{,}8\text{ m}^2 ile Şehir Dışında fotoğrafıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) Şehir dışında
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Çapraz Sadeleştirme
- Tanım: Çarpma işleminde pay ve paydadaki ortak çarpanlar doğrudan sadeleştirilir.
- Bu problemde: \frac{4}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}}{5} = \frac{4}{5} işlemi en hızlı sonucu verir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kesirleri Çarpmadan Payda Eşitlemek
- Yanlış: Çarpmada payda eşitlemeye çalışmak.
- Doğru: Pay ile payı, payda ile paydayı çarpmak veya sadeleştirmek yeterlidir.
- Neden yanlış: Çarpmada payda eşitlenmez, sadece işlem uzar.
Bu çözüm yöntemiyle ilgili aklına takılan başka bir adım var mı?