Aşağıda, y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir

Question Answer
1

Aşağıda, y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre, f(x) in azalan veya sabit olduğu kaç farklı x tam sayı değeri vardır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14

Aşağıda, y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Aşağıda, y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.1024×768 123 KB

2

Fonksiyonun Azalan ve Sabit Olduğu Aralıkların Belirlenmesi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Bir fonksiyonun grafiğinde soldan sağa doğru gidildiğinde; grafik aşağı doğru iniyorsa fonksiyon azalan, yatay bir doğru boyunca ilerliyorsa sabit, yukarı doğru çıkıyorsa artandır.
  • Gerçel sayılarda tanımlı ve sürekli bir fonksiyonun bir aralıkta azalan veya sabit olması incelenirken aralığın uç noktaları da bu aralıklara dahil edilir:
    • [a, b] aralığında her x_1 < x_2 için f(x_1) > f(x_2) ise fonksiyon bu kapalı aralıkta azalandır.
    • [a, b] aralığında her x_1, x_2 için f(x_1) = f(x_2) ise fonksiyon bu kapalı aralıkta sabittir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Grafiğin Davranışına Göre Aralıkların Tespiti
Verilen y = f(x) grafiği soldan sağa doğru parça parça incelendiğinde:

  1. [-6, -3] aralığında: Grafik (-6, 4) noktasından (-3, 0) noktasına doğru aşağı yönlü inmektedir. Dolayısıyla fonksiyon bu aralıkta azalandır.
  2. [-3, -2] aralığında: Grafik (-3, 0) noktasından (-2, 3) noktasına doğru yukarı yönlü çıkmaktadır. Dolayısıyla bu aralıkta artandır.
  3. [-2, 3] aralığında: Grafik y = 3 yatay doğrusu üzerinde düz devam etmektedir. Dolayısıyla fonksiyon bu aralıkta sabittir.
  4. [3, 5] aralığında: Grafik (3, 3) noktasından tepe noktası olan (5, 5)'e doğru yükselmektedir. Dolayısıyla bu aralıkta artandır.
  5. [5, 7] aralığında: Grafik yerel maksimum noktası olan (5, 5)'ten dip noktası olan (7, -2)'ye doğru aşağı yönlü inmektedir. Dolayısıyla bu aralıkta azalandır.
  6. [7, 10] aralığında: Grafik (7, -2) noktasından (10, 4) noktasına doğru yukarı yönlü çıkmaktadır (x=8’de ekseni keserek). Dolayısıyla bu aralıkta artandır.

Adım 2 — Azalan veya Sabit Olunan Aralıkların Birleşimi
Bizden f(x)'in azalan veya sabit olduğu aralıklardaki x tam sayı değerleri istenmektedir:

  • Azalan olduğu aralıklar: [-6, -3] ve [5, 7]
  • Sabit olduğu aralık: [-2, 3]

Adım 3 — Tam Sayı Değerlerinin Hesaplanması
Belirlenen kapalı aralıklardaki tam sayıları listeleyelim:

  • [-6, -3] aralığındaki tam sayılar:
    \{-6, -5, -4, -3\} \quad \rightarrow \quad 4 \text{ adet}
  • [-2, 3] aralığındaki tam sayılar:
    \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} \quad \rightarrow \quad 6 \text{ adet}
  • [5, 7] aralığındaki tam sayılar:
    \{5, 6, 7\} \quad \rightarrow \quad 3 \text{ adet}

Toplam farklı x tam sayı adedi:

4 + 6 + 3 = 13

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: D) 13
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Azalanlık ve Sabitlik: Bir fonksiyonun bir aralıkta azalan ya da sabit olması, aralıktaki her nokta çiftinin eğimi veya fonksiyonel sıralamasıyla ilgilidir. Uç noktalar tek başlarına değil, tanımlandıkları kapalı aralık bağlamında azalanlığa/sabitliğe dahildir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Aralığın uç noktalarını (örneğin -3, -2, 3, 5, 7) türevin sıfır olduğu veya yön değiştirdiği gerekçesiyle aralıklara dahil etmeyip açık aralık almak ((5, 7) alıp sadece 6’yı saymak gibi).
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Fonksiyonun artan, azalan veya sabit olduğu aralıklar MEB müfredatında kapalı aralık [a, b] olarak ifade edilir ve uç noktalar bu aralıkların birer elemanıdır.

Bu tarz grafik sorularında artanlık/azalanlık uç noktalarının neden kapalı aralık olarak alındığı mantığını pekiştirmek için benzer bir örnek çözmek ister misin?