Aşağıda verilen üslü ifadeler tanımlanmıştır.
A = \frac{4^3 dot 8^2}{2^5}
B = \frac{16^2}{2^3} dot 2^{-1}
Buna göre, A 1 B$ işleminin sonucunu tabanı 2 olan tek bir üslü ifade şeklinde yazınız.
Bir ölçüm sonucunda bir cismin uzunluğu 246,375 cm olarak belirlenmiştir.
Buna göre 246,375 sayısının ondalık gösterimini, 10’un tam sayı kuvvetlerini kullanarak çözümleyiniz.
Üslü İfadelerde İşlemler ve Ondalık Gösterimleri Çözümleme
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Üslü sayılarda üssün üssü kuralı (a^x)^y = a^{x \cdot y}, çarpma kuralı a^x \cdot a^y = a^{x+y} ve bölme kuralı \frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} şeklinde uygulanır. Ondalık sayıların çözümlenmesinde ise her basamaktaki rakam, bulunduğu basamağın 10’un tam sayı kuvveti ile çarpılarak toplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
5. Soru Çözümü (A : B İşlemi)
Adım 1 — A Sayısını 2 Tabanında Yazma ve Sadeleştirme
4 = 2^2 ve 8 = 2^3 eşitliklerini kullanarak ifadeleri 2 tabanına dönüştürelim:
4^3 = (2^2)^3 = 2^6
8^2 = (2^3)^2 = 2^6
A = \frac{2^6 \cdot 2^6}{2^5} = \frac{2^{6+6}}{2^5} = \frac{2^{12}}{2^5} = 2^{12-5} = 2^7
Adım 2 — B Sayısını 2 Tabanında Yazma ve Sadeleştirme
16 = 2^4 eşitliğini yerine yazarak işlemi tamamlayalım:
16^2 = (2^4)^2 = 2^8
B = \frac{2^8}{2^3} \cdot 2^{-1} = 2^{8-3} \cdot 2^{-1} = 2^5 \cdot 2^{-1} = 2^{5 + (-1)} = 2^4
Adım 3 — A : B Bölme İşlemini Yapma
A : B = \frac{A}{B} = \frac{2^7}{2^4} = 2^{7-4} = 2^3
6. Soru Çözümü (246,375 Sayısının Çözümlenmesi)
Verilen sayının basamak değerlerini 10’un tam sayı kuvvetleri biçiminde belirleyelim:
- Yüzler basamağı (2): 2 \cdot 10^2
- Onlar basamağı (4): 4 \cdot 10^1
- Birler basamağı (6): 6 \cdot 10^0
- Onda birler basamağı (3): 3 \cdot 10^{-1}
- Yüzde birler basamağı (7): 7 \cdot 10^{-2}
- Binde birler basamağı (5): 5 \cdot 10^{-3}
246,375 = (2 \cdot 10^2) + (4 \cdot 10^1) + (6 \cdot 10^0) + (3 \cdot 10^{-1}) + (7 \cdot 10^{-2}) + (5 \cdot 10^{-3})
CEVAP:
- 5. Soru: 2^3
- 6. Soru: (2 \cdot 10^2) + (4 \cdot 10^1) + (6 \cdot 10^0) + (3 \cdot 10^{-1}) + (7 \cdot 10^{-2}) + (5 \cdot 10^{-3})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Üslü sayılarda bölme işlemi yaparken tabanlar eşitse payın üssünden paydanın üssü çıkarılır. Ondalık çözümlemede virgülden önceki ilk basamağın (birler basamağı) kuvvetinin 10^0 olduğu, virgülden sonraki basamakların ise 10^{-1}, 10^{-2}, 10^{-3} olarak negatif kuvvetlerle ilerlediği unutulmamalıdır.
@Akademik_Rehber 5. soruda B işleminin sonuncusu 2 üstü -5 olması gerekiyor
El yazısıyla yapılan çözümde yaygın bir kural hatası yapılmıştır: Tabanları aynı olan üslü ifadeler çarpılırken üsler birbiriyle çarpılmaz, toplanır.
İşlemin adım adım açıklaması:
-
\frac{16^2}{2^3} ifadesi:
\frac{(2^4)^2}{2^3} = \frac{2^8}{2^3} = 2^{8 - 3} = 2^5 -
Bulunan 2^5 değeri ile 2^{-1} çarpılırken üsler toplanır:
a^m \cdot a^n = a^{m+n}2^5 \cdot 2^{-1} = 2^{5 + (-1)} = 2^4
- Neden 2^{-5} olamaz?
Üslerin çarpılarak -5 bulunabilmesi için ifadenin üssün üssü biçiminde, yani (2^5)^{-1} şeklinde olması gerekirdi. Burada iki üslü sayının çarpımı (2^5 \cdot 2^{-1}) olduğu için üsler toplanır: 5 - 1 = 4 olur.
Bu nedenle B = 2^4 ve sonuç A : B = 2^7 : 2^4 = 2^3 doğrudur. Kağıttaki kurşun kalemle yazılan 2^{-5} ifadesi işlem hatasıdır.