Aşağıda verilen sayıların hangisi rasyonel sayı değildir?
A) \sqrt{16}
B) 0,4
C) \sqrt{25}
D) \sqrt{5}
E) \frac{2}{3}
Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların Belirlenmesi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
a, b \in \mathbb{Z} ve b \neq 0 olmak üzere \frac{a}{b} biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayı (\mathbb{Q}), yazılamayan sayılara ise irrasyonel sayı (\mathbb{I} veya \mathbb{Q}') denir. Tam kare olmayan pozitif tam sayıların karekökleri irrasyonel sayıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI & SEÇENEK ANALİZİ:
- A Seçeneği (\sqrt{16}): 16 = 4^2 olduğundan \sqrt{16} = 4’tür. 4 = \frac{4}{1} biçiminde yazılabildiği için rasyonel sayıdır.
- B Seçeneği (0,4): Ondalık gösterim kesir olarak 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} şeklinde yazılabildiği için rasyonel sayıdır.
- C Seçeneği (\sqrt{25}): 25 = 5^2 olduğundan \sqrt{25} = 5’tir. 5 = \frac{5}{1} biçiminde ifade edilebildiği için rasyonel sayıdır.
- D Seçeneği (\sqrt{5}): 5 sayısı bir tam kare sayı değildir. Bu nedenle kök dışına tam sayı olarak çıkamaz. Virgülden sonra devirsiz ve sonsuza kadar devam eden bir sayı olduğu için iki tam sayının oranı şeklinde yazılamaz; dolayısıyla irrasyonel sayıdır (rasyonel sayı değildir).
- E Seçeneği (\frac{2}{3}): İki tam sayının oranı biçiminde doğrudan verilmiştir (a=2, b=3), bu nedenle rasyonel sayıdır.
Sonuç ve Doğrulama:
Tam kare olmayan bir sayının karekökü kök dışına tam çıkamadığı için \sqrt{5} sayısı irrasyoneldir ve rasyonel sayı değildir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D — \sqrt{5}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- İrrasyonel Sayı: Virgülden sonraki basamakları düzenli tekrar etmeyen ve \frac{a}{b} şeklinde yazılamayan reel sayılardır (\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \pi vb.).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Karekök içindeki her sayıyı irrasyonel kabul etmek.- Doğru Yaklaşım: Kökün içindeki sayı tam kare ise (\sqrt{16}=4, \sqrt{25}=5 gibi) kök dışına tam sayı olarak çıkar ve bir rasyonel sayı olur.
Benzer mantıkla devirli ondalık sayıların neden rasyonel olduğunu pekiştirmek için bir örnek daha çözmek ister misin?