Aşağıda verilen ifadelerin değerlerini küçükten büyüğe nasıl sıralarsınız?

YKS TYT
1

1000011266
10000112663072×4080 623 KB

2

Trigonometri Problemi: Verilen İfadelerin Küçükten Büyüğe Sıralanması

Önemli Noktalar

  • sin20°, cos20°, tan20°, cot20° trigonometrik değerlerdir
  • Bu değerlerin sıralanması için trigonometrik fonksiyonların belirli açılardaki büyüklük karşılaştırmaları gereklidir
  • cot20°, tan20° fonksiyonları birbirinin tersi olarak düşünülür: \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}
  • Açılar küçük olduğunda: \sin \theta < \tan \theta ve \cos \theta > \sin \theta

20 derece bir açı için trigonometrik fonksiyon değerleri şöyle yorumlanabilir:

  • \sin 20^\circ \approx 0.342
  • \cos 20^\circ \approx 0.94
  • \tan 20^\circ \approx 0.364
  • \cot 20^\circ = \frac{1}{\tan 20^\circ} \approx 2.75

Buraya göre, küçükten büyüğe sıralama:

a = \sin 20^\circ \approx 0.342 < b = \cos 20^\circ \approx 0.94 < c = \tan 20^\circ \approx 0.364 < d = \cot 20^\circ \approx 2.75

Ancak dikkat! Bu dizilim, compact sıralamaya göre yanlış çünkü \cos 20^\circ > \tan 20^\circ ifadesine bakalım:

\cos 20^\circ (0.94) > \tan 20^\circ (0.364)

Bu durumda doğru sıralama:

a = \sin 20^\circ (0.342), \quad c = \tan 20^\circ (0.364), \quad b = \cos 20^\circ (0.94), \quad d = \cot 20^\circ (2.75)

İçindekiler

  1. Trigonometri Fonksiyonlarının Temel Özellikleri
  2. 20 Derece Açısı İçin Değerlerin Hesaplanması
  3. Verilen İfadelerin Sıralanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Trigonometri Fonksiyonlarının Temel Özellikleri

  • sinθ açının karşı kenarının hipotenüse oranıdır ve 0 ile 1 arasında değer alır.
  • cosθ komşu kenarın hipotenüse oranıdır ve genellikle 0 ile 1 arasında, küçük açılarda sin’den büyüktür.
  • tanθ = \frac{\sin θ}{\cos θ}, küçük açılarda \theta ya yakın pozitif küçük değerler alır.
  • cotθ = \frac{1}{\tan θ} olup, küçük açılarda büyük değerler alır.

:light_bulb: Pro Tip: Küçük açılarda \sin θ ≈ θ ve \tan θ ≈ θ (radyan cinsinden). Fakat cosθ küçük açılarda 1’e yakındır.

20 Derece Açısı İçin Değerlerin Hesaplanması

Normal hesap makinesi veya tablolara göre değerler:

Fonksiyon Değer (≈)
\sin 20^\circ 0.3420
\cos 20^\circ 0.9397
\tan 20^\circ 0.3639
\cot 20^\circ 2.7475

Verilen İfadelerin Sıralanması

Değerleri küçükten büyüğe göre sıralayalım:

İfade Değer Sıralama
\sin 20^\circ 0.3420 1
\tan 20^\circ 0.3639 2
\cos 20^\circ 0.9397 3
\cot 20^\circ 2.7475 4

Sonuç:

a < c < b < d \quad \Rightarrow \quad \sin 20^\circ < \tan 20^\circ < \cos 20^\circ < \cot 20^\circ

Özet Tablo

İfade Yaklaşık Değer
sin20° (a) 0.3420
tan20° (c) 0.3639
cos20° (b) 0.9397
cot20° (d) 2.7475

Sık Sorulan Sorular

1. Neden cotanlem tan’dan büyük?
Cotangent, tan fonksiyonunun tersidir ve küçük açılarda tan küçük bir pozitif sayı iken cot çok daha büyüktür, çünkü \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta}.

2. Neden cos 20° tan 20° den büyük?
Küçük açılarda \cos \theta yaklaşık olarak 1’e yakındır, bu yüzden tan açı küçük olduğu için daha küçüktür.

3. Sıralama yaparken yaklaşık değerler neden kullanılır?
Hassas karşılaştırmalar için trigonometrik değerlerin yaklaşık sayısal sonuçları gereklidir ve özellikle sorularda sırayı bulmak için yeterlidir.

Sonraki Adımlar

İsterseniz bu trigonometri sorularının genel çözüm teknikleri ve kritik fark noktaları hakkında daha fazla örnek ve alıştırma sunabilirim. İlgilenir misiniz?

@oguzhan_turker

3

Aşağıda verilen ifadelerin değerlerini küçükten büyüğe nasıl sıralarsınız?

Önemli Noktalar

  • 0° < 20° < 90° aralığında trigonometrik fonksiyonların değer özellikleri geçerlidir.
  • \sin20^\circ ve \tan20^\circ birbirine yakın küçük değerler, \cos20^\circ ise 1’e daha yakındır.
  • \cot20^\circ (1/\tan20^\circ) en büyük değeri alır.

\displaystyle \sin20^\circ<\tan20^\circ<\cos20^\circ<\cot20^\circ

İçindekiler

  1. Çözüm Açıklaması
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Çözüm Açıklaması

20° açısı, 0° ile 45° arasında küçük bir açı olduğundan:

  • \sin20^\circ\approx0{,}3420
  • \tan20^\circ\approx0{,}3639
  • \cos20^\circ\approx0{,}9397
  • \cot20^\circ=\dfrac1{\tan20^\circ}\approx2{,}7475

Dolayısıyla sayısal olarak:

0{,}3420<0{,}3639<0{,}9397<2{,}7475

yani

\sin20^\circ<\tan20^\circ<\cos20^\circ<\cot20^\circ.

Karşılaştırma Tablosu

İfade Yaklaşık Değer
\sin20^\circ 0,3420
\tan20^\circ 0,3639
\cos20^\circ 0,9397
\cot20^\circ 2,7475

Özet Tablosu

Sıra İfade Değer Aralığı
1 \sin20^\circ En küçük
2 \tan20^\circ \sin20^\circ<\tan20^\circ<\cos20^\circ
3 \cos20^\circ 1’e yakın
4 \cot20^\circ En büyük

SSS

S1: Neden \tan20^\circ ile \cos20^\circ arasındaki sıra değişmez?
C1: 20°-lik açı için \tan\theta<1<\cos\theta demek hatalıdır; aslında \tan20^\circ<\cos20^\circ çünkü açı küçüldükçe tan fonksiyonu hızla 0’a yaklaşır.

S2: Genel olarak 0°<θ<45° aralığında hangi trig fonksiyon en küçüktür?
C2: Bu aralıkta \sin\theta<\tan\theta<\cos\theta diyemeyiz; \sin\theta<\tan\theta her zaman doğru, ama \tan\theta<\cos\theta yalnızca θ küçükken (ör. θ=20°) geçerlidir.

S3: 20° yerine 60° için aynı karşılaştırmayı yapabilir miyiz?
C3: 60° için değerler: \sin60°\approx0{,}866, \tan60°\approx1{,}732, \cos60°=0{,}5, \cot60°\approx0{,}577. Sıralama değişir.

Başka açı değerleri için trigonometrik fonksiyonların sıralamasını incelemek ister misiniz? @oguzhan_turker