Aşağıda verilen ifadelerin alabileceği değer aralıklarını bulunuz

YKS TYT
1

1000011258
10000112583072×4080 485 KB

2

Trigonometrik Fonksiyonların Değer Aralıkları

Önemli Noktalar

  • sin(x) fonksiyonunun değer aralığı [-1, 1]'dir.
  • cos(x) fonksiyonunun da değer aralığı [-1, 1]'dir.
  • Bir trigonometrik ifadenin aldığı değer, içerdiği fonksiyonların değer aralıkları ve sabitler/dönüşümler ile belirlenir.
  • Sabit ve katsayıların etkisiyle aralıklar ölçeklenir ve kaydırılır.

İçindekiler

  1. sin(x - 20°) Değer Aralığı
  2. cos(x + π/4) + 2 Değer Aralığı
  3. 3 - sin(x/2) Değer Aralığı
  4. 2cos(2x + 30°) - 3 Değer Aralığı
  5. 2 + 3cos(y) Değer Aralığı

1. sin(x - 20°) Değer Aralığı

  • sin(x) fonksiyonunun değer aralığı [-1, 1]'dir.
  • İçerideki açı değişimi (x - 20°) fonksiyonun periyodunu ve şeklini değiştirmez, sadece grafiği yatay kaydırır.
  • Bu nedenle sin(x - 20°) fonksiyonunun değer aralığı değişmez;
    [-1, 1] olarak kalır.

:light_bulb: Pro Tip: Açının içindeki sabit çıkarma işlemi trigonometrik fonksiyonun değer aralığını değiştirmez, sadece grafik üzerinde yatay kaydırma yapar.

2. cos(x + π/4) + 2 Değer Aralığı

  • cos(x) fonksiyonunun değer aralığı [-1, 1]'dir.
  • x içinde yapılan kaydırma (x + π/4) değeri etkilemez, sadece horizontal hareket sağlar.
  • +2 sabiti ise tüm fonksiyon değerlerini 2 birim yukarı kaydırır.

Değer aralığı:

  • Minimum: -1 + 2 = 1
  • Maksimum: 1 + 2 = 3

Yani,
cos(x + π/4) + 2 ∈ [1, 3]

3. 3 - sin(x/2) Değer Aralığı

  • sin(x/2) değer aralığı: [-1, 1]
  • fonksiyondaki işaret negatifyle ve 3 sabiti ile şöyle hesaplanır:
3 - \sin\left(\frac{x}{2}\right)

Değer aralığı:

  • Minimum: 3 - 1 = 2
  • Maksimum: 3 - (-1) = 4

Aralık: [2, 4]

:warning: Uyarı: İçerideki açı bölme işlemi periyodu değiştirir ama değer aralığını değiştirmez.

4. 2cos(2x + 30°) - 3 Değer Aralığı

  • cos(2x + 30°) değer aralığı: [-1, 1]
  • Katsayı 2 ile aralık, [-2, 2] olur.
  • Sonra -3 ile kaydırılır:
    Yeni aralık: [-2 - 3, 2 - 3] yani [-5, -1]

Sonuç: 2cos(2x + 30°) - 3 ∈ [-5, -1]

5. 2 + 3cos(y) Değer Aralığı

  • cos(y) değer aralığı: [-1, 1]
  • Katsayı 3 ile aralık: [-3, 3]
  • +2 ile yukarı kaydırılır:
    Aralık: [-3 + 2, 3 + 2] = [-1, 5]

Sonuç: 2 + 3cos(y) ∈ [-1, 5]

Özet Tablo

İfade Değer Aralığı Açıklama
sin(x - 20°) [-1, 1] Periyot kayması, aralık aynı kalır
cos(x + π/4) + 2 [1, 3] +2 ile yukarı kaydırma
3 - sin(x/2) [2, 4] 3 ile yukarı kaydırma, sin ile çıkarma
2cos(2x + 30°) - 3 [-5, -1] Katsayı 2 ile genişleme, -3 ile kaydırma
2 + 3cos(y) [-1, 5] Katsayı ve kaydırma etkisi

Sık Sorulan Sorular

1. Trigonometrik fonksiyonlarda iç açının değişimi değer aralığını etkiler mi?
Hayır. İç açının sabit ekleme veya çıkarılması (kaydırma) veya katsayısı (genişletme) değer aralığını değiştirmez, ancak katsayı aralığı ölçeklendirir ve sabit ekleme/kaydırma aralığı yukarı/aşağı taşır.

2. Katsayı (genlik) değer aralığını nasıl etkiler?
Katsayı, trigonometrik fonksiyonun genliği olarak adlandırılır ve değer aralığını katsayı kadar çarpar. Örneğin, cos(x) ∈ [-1,1] iken 3cos(x) ∈ [-3,3].

3. Sabit eklemeler ne yapar?
Fonksiyonun tamamını yukarı veya aşağı kaydırarak değer aralığını değiştirir. Örneğin, cos(x)+2 ∈ [1,3].

Bir trigonometrik ifadenin değer aralığını hesaplamak için önce içindeki trigonometrik fonksiyonun temel aralığını bulun, katsayı ve sabit terimleri uygulayın. İsterseniz bu tür problemlerde detaylı örneklerle çalışma yapabilirim, nasıl yardımcı olayım?

@oguzhan_turker

3

Aşağıda verilen ifadelerin alabileceği değer aralıklarını bulunuz.

Önemli Noktalar

  • Sinüs ve kosinüs fonksiyonları her zaman [-1,1] aralığında değer alır.
  • Bir fonksiyonun genliği A ile çarpıldığında aralık [-|A|,\,|A|] olur.
  • Bir fonksiyona uygulanan dikey kayma C, aralığı [m_{\min}+C,\,m_{\max}+C] şeklinde sürer.

Cevap (Özet)
Verilen ifadelerin değer aralıkları sırasıyla:
a. \sin(x - 20^\circ)\in[-1,\,1]
b. \cos\bigl(x + \frac{\pi}{4}\bigr) + 2\in[1,\,3]
c. 3 - \sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)\in[2,\,4]
d. 2\cos\bigl(2x + 30^\circ\bigr) - 3\in[-5,\,-1]
e. 2 + 3\cos y\in[-1,\,5]

İçindekiler

  1. Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlarının Genel Aralığı
  2. Aralık Hesaplamaları
  3. Dönüşümlerin Karşılaştırılması
  4. Özet Tablosu
  5. SSS

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonlarının Genel Aralığı

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının temel değer aralığı

\sin x,\;\cos x\;\in[-1,\,1].

Buna dayanarak;

  • f(x)=\sin(x - 20^\circ) veya f(x)=\cos\bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\bigr) türündeki ifadeler doğrudan [-1,1] aralığında kalır.

Aralık Hesaplamaları

Her ifadeyi adım adım inceleyelim:

a. f(x)=\sin(x - 20^\circ)

  • İç fonksiyon kayması değeri etkilemez.
  • Aralık: [-1,\,1].

b. g(x)=\cos\bigl(x + \tfrac{\pi}{4}\bigr) + 2

  • \cos(\dots)\in[-1,1] → +2 ile \;[1,3].

c. h(x)=3 - \sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)

  • \sin(\dots)\in[-1,1] → -\sin(\dots)\in[-1,1] → +3 ile \;[2,4].

d. p(x)=2\cos\bigl(2x + 30^\circ\bigr) - 3

  • \cos(\dots)\in[-1,1] → ×2 ile [-2,2] → −3 ile \;[-5,-1].

e. q(y)=2 + 3\cos y

  • \cos y\in[-1,1] → ×3 ile [-3,3] → +2 ile \;[-1,5].

Dönüşümlerin Karşılaştırılması

Dönüşüm Türü Genel Formül Değişen Aralık
Genlik (A) A\sin x veya A\cos x $[-
Dikey Kayma (C) \sin x + C veya \cos x + C [-1+C,\,1+C]
Kayma (B) \sin(x+B) veya \cos(x+B) Aynı [-1,1]

Özet Tablosu

İfade Aralık
\sin(x - 20^\circ) [-1,\,1]
\cos\bigl(x + \tfrac{\pi}{4}\bigr)+2 [1,\,3]
3 - \sin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) [2,\,4]
2\cos\bigl(2x + 30^\circ\bigr)-3 [-5,\,-1]
2 + 3\cos y [-1,\,5]

SSS

  1. Aralığı hesaplarken genlik ve kaymayı nasıl uygularım?
  2. Negatif genlikli fonksiyonda aralık nasıl değişir?
  3. İç fonksiyonun katsayısı (örn. \sin(2x)) aralığı etkiler mi?
  4. Farklı trigonometrik fonksiyonların aralıkları nelerdir?

Başka bir trigonometrik fonksiyonun değer aralığını hesaplamamı ister misiniz?
@oguzhan_turker