- Aşağıda verilen eşitliklerde x’in değerini bu-
f)
lunuz.
a) 2 2
b) 5 5
c) 2.2.2.2.2
5.5.5.5.5
x
Üslü İfadelerde x Değerlerini Bulma
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
- Negatif Üs Kuralı: \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n ve a^{-n} = \frac{1}{a^n}
- Tekrarlı Çarpım: \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \dotsm \frac{a}{b}}_{n\text{ tane}} = \left(\frac{a}{b}\right)^n
ÇÖZÜM ADIMLARI:
a) \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \left(\frac{3}{2}\right)^x
- Sol tarafta 3 adet \frac{2}{3} çarpılmıştır: \left(\frac{2}{3}\right)^3
- Kesrin pay ve paydası yer değiştirdiğinde üssün işareti değişir: \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^{-3}
- \left(\frac{3}{2}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{2}\right)^x \implies \mathbf{x = -3}
b) \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} = \left(\frac{4}{5}\right)^x
- Sol tarafta 4 adet \frac{5}{4} çarpılmıştır: \left(\frac{5}{4}\right)^4
- Kesri ters çevirip üssün işaretini değiştirelim: \left(\frac{5}{4}\right)^4 = \left(\frac{4}{5}\right)^{-4}
- \left(\frac{4}{5}\right)^{-4} = \left(\frac{4}{5}\right)^x \implies \mathbf{x = -4}
c) \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \left(\frac{5}{2}\right)^x
- İfadeyi kesir biçiminde üslü olarak yazalım: \frac{2^5}{5^5} = \left(\frac{2}{5}\right)^5
- Tabanı \frac{5}{2} yapmak için negatif üs uygulayalım: \left(\frac{2}{5}\right)^5 = \left(\frac{5}{2}\right)^{-5}
- \left(\frac{5}{2}\right)^{-5} = \left(\frac{5}{2}\right)^x \implies \mathbf{x = -5}
d) \left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{64}{27}
- Eşitliğin sağ tarafındaki sayıları üslü olarak yazalım: 64 = 4^3 ve 27 = 3^3, yani \frac{64}{27} = \left(\frac{4}{3}\right)^3
- Sol taraftaki taban \frac{3}{4} olduğu için sağ tarafı ters çevirelim: \left(\frac{4}{3}\right)^3 = \left(\frac{3}{4}\right)^{-3}
- \left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^{-3} \implies \mathbf{x = -3}
e) \left(\frac{5}{2}\right)^x = \frac{125}{8}
- Eşitliğin sağ tarafındaki sayıları üslü olarak yazalım: 125 = 5^3 ve 8 = 2^3, yani \frac{125}{8} = \left(\frac{5}{2}\right)^3
- \left(\frac{5}{2}\right)^x = \left(\frac{5}{2}\right)^3 \implies \mathbf{x = 3}
f) \left(\frac{7}{3}\right)^x = \frac{27}{343}
- Eşitliğin sağ tarafındaki sayıları üslü olarak yazalım: 27 = 3^3 ve 343 = 7^3, yani \frac{27}{343} = \left(\frac{3}{7}\right)^3
- Tabanı \frac{7}{3} yapmak için kesri ters çevirelim: \left(\frac{3}{7}\right)^3 = \left(\frac{7}{3}\right)^{-3}
- \left(\frac{7}{3}\right)^x = \left(\frac{7}{3}\right)^{-3} \implies \mathbf{x = -3}
g) \left(\frac{1}{2}\right)^x = 64
- 64 sayısını 2 tabanında yazalım: 64 = 2^6
- 2^6 ifadesini \frac{1}{2} tabanında yazmak için negatif üs uygulayalım: 2^6 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-6}
- \left(\frac{1}{2}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-6} \implies \mathbf{x = -6}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP ÖZETİ:
- a) x = -3
- b) x = -4
- c) x = -5
- d) x = -3
- e) x = 3
- f) x = -3
- g) x = -6
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Rasyonel Sayıların Negatif Kuvveti
- Tanım: Bir rasyonel sayının üssü negatif ise, pay ile payda yer değiştirir ve üs pozitif hale gelir: \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n.
- Bu problemde: İki tarafta tabanları birbirinin çarpmaya göre tersi olan kesirleri eşitlemek için üssün işareti tersine çevrilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
İşareti Unutmak veya Karıştırmak
- Yanlış: \left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{64}{27} işleminde \frac{64}{27} = \left(\frac{4}{3}\right)^3 olduğu için doğrudan x = 3 demek.
- Doğru: Tabanlar \frac{3}{4} ve \frac{4}{3} birbirinin tersi olduğu için üs negatif olmalıdır: x = -3.
- Neden Yanlış: Tabanlar birebir aynı olmadan üsler doğrudan eşitlenemez.
Bu konuyu daha iyi pekiştirmek için benzer bir alıştırma sorusu çözmemi ister misin?