- Aşağıda verilen eşitliklerde x’in değerini bu-
f)
lunuz.
a) 2 2
b) 5 5
c) 2.2.2.2.2
5.5.5.5.5
x
Rasyonel Sayılarda Üslü İfadeler ve Bilinmeyeni Bulma
KULLANILAN KURAL VE FORMÜLLER:
- Negatif Üs Kuralı: \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n
- Tekrarlı Çarpım: \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \dots \frac{a}{b}}_{n \text{ tane}} = \left(\frac{a}{b}\right)^n
- Taban Eşitliği: Tabanlar eşit ise üsler de eşittir: a^x = a^y \implies x = y
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — a Maddesinin Çözümü
\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \left(\frac{2}{3}\right)^3
Kesir ters çevrildiğinde üs işaret değiştirir:
\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^{-3} \implies \left(\frac{3}{2}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{2}\right)^x \implies x = -3
Adım 2 — b Maddesinin Çözümü
\frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{5}{4} = \left(\frac{5}{4}\right)^4
\left(\frac{5}{4}\right)^4 = \left(\frac{4}{5}\right)^{-4} \implies \left(\frac{4}{5}\right)^{-4} = \left(\frac{4}{5}\right)^x \implies x = -4
Adım 3 — c Maddesinin Çözümü
\frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{2^5}{5^5} = \left(\frac{2}{5}\right)^5
\left(\frac{2}{5}\right)^5 = \left(\frac{5}{2}\right)^{-5} \implies \left(\frac{5}{2}\right)^{-5} = \left(\frac{5}{2}\right)^x \implies x = -5
Adım 4 — d Maddesinin Çözümü
\frac{64}{27} = \frac{4^3}{3^3} = \left(\frac{4}{3}\right)^3
\left(\frac{4}{3}\right)^3 = \left(\frac{3}{4}\right)^{-3} \implies \left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^{-3} \implies x = -3
Adım 5 — e Maddesinin Çözümü
\frac{125}{8} = \frac{5^3}{2^3} = \left(\frac{5}{2}\right)^3
\left(\frac{5}{2}\right)^x = \left(\frac{5}{2}\right)^3 \implies x = 3
Adım 6 — f Maddesinin Çözümü
\frac{27}{343} = \frac{3^3}{7^3} = \left(\frac{3}{7}\right)^3
\left(\frac{3}{7}\right)^3 = \left(\frac{7}{3}\right)^{-3} \implies \left(\frac{7}{3}\right)^x = \left(\frac{7}{3}\right)^{-3} \implies x = -3
Adım 7 — g Maddesinin Çözümü
64 = 2^6 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-6}
\left(\frac{1}{2}\right)^x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-6} \implies x = -6
Adım 8 — h Maddesinin Çözümü
\frac{81}{16} = \frac{3^4}{2^4} = \left(\frac{3}{2}\right)^4
\left(\frac{3}{2}\right)^4 = \left(\frac{2}{3}\right)^{-4} \implies \left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^{-4} \implies x = -4
Adım 9 — ı Maddesinin Çözümü
-\frac{1}{1000} = -\frac{1^3}{10^3} = \left(-\frac{1}{10}\right)^3
\left(-\frac{1}{10}\right)^x = \left(-\frac{1}{10}\right)^3 \implies x = 3
Adım 10 — i Maddesinin Çözümü
0{,}01 = \frac{1}{100} = \left(-\frac{1}{10}\right)^2
\left(-\frac{1}{10}\right)^x = \left(-\frac{1}{10}\right)^2 \implies x = 2
Adım 11 — j Maddesinin Çözümü
Tabanı sadeleştirelim: -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}
-27 = (-3)^3 = \left(-\frac{1}{3}\right)^{-3}
\left(-\frac{1}{3}\right)^x = \left(-\frac{1}{3}\right)^{-3} \implies x = -3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:
- a) x = -3
- b) x = -4
- c) x = -5
- d) x = -3
- e) x = 3
- f) x = -3
- g) x = -6
- h) x = -4
- ı) x = 3
- i) x = 2
- j) x = -3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Negatif Üs
- Tanım: Bir rasyonel sayının pay ve paydasının yer değiştirmesi (çarpmaya göre tersinin alınması), üssün işaretini artıdan eksiye (ya da eksiden artıya) çevirir.
- Bu problemde: Pay ve paydası yer değiştirmiş olan üslü denkliklerde x değeri negatif kuvvet olarak bulunmuştur.
2. Negatif Sayıların Çift ve Tek Kuvvetleri
- Tanım: Negatif bir rasyonel sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti ise negatif sonuç verir.
- Bu problemde: i şıkkında pozitif 0{,}01 elde etmek için üs çift (x = 2), ı şıkkında negatif sonuç için üs tek (x = 3) olmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kesir Ters Döndüğünde Üssü Pozitif Bırakmak
- Yanlış: \left(\frac{3}{4}\right)^x = \frac{64}{27} \implies x = 3
- Doğru: \frac{64}{27} = \left(\frac{4}{3}\right)^3 = \left(\frac{3}{4}\right)^{-3} \implies x = -3
- Neden Yanlış: Taban \frac{3}{4} iken karşı taraf \frac{4}{3} tabanındadır; tabanların birebir aynı olması için üs işaret değiştirmelidir.
Rasyonel sayılarda üslü ifadeler ve negatif üs konusuyla ilgili benzer bir alıştırma hazırlamamı ister misin?