Aşağıda verilen eşit kollu teraziler dengededir.
Verilen terazilere göre y^x üslü ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2^{72}
B) 2^{64}
C) 16^{12}
D) 8^{20}
Üslü İfadelerde Eşitlik ve Taban Dönüşümü
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Eşit kollu terazinin dengede olması iki kefedeki kütlelerin birbirine eşit olduğunu gösterir. Tabanları aynı olan üslü denklemlerde a^m = a^n \iff m = n kuralı ve üssün üssü kuralı olan (a^m)^n = a^{m \cdot n} bağıntısı uygulanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Birinci teraziden x değerinin bulunması:
Birinci terazinin sol kefesinde 9^8\text{ mg}, sağ kefesinde 3^x\text{ mg} kütle dengededir. Tabanlar 3 tabanında eşitlenir:
9^8 = (3^2)^8 = 3^{16}
3^{16} = 3^x \implies x = 16
Adım 2 — İkinci teraziden y değerinin bulunması:
İkinci terazinin sol kefesinde 8^y\text{ mg}, sağ kefesinde 16^6\text{ mg} kütle dengededir. Tabanlar 2 tabanında eşitlenir:
8^y = (2^3)^y = 2^{3y}
16^6 = (2^4)^6 = 2^{24}
2^{3y} = 2^{24} \implies 3y = 24 \implies y = 8
Adım 3 — y^x değerinin hesaplanması ve seçeneklerle eşleştirilmesi:
Bulunan x = 16 ve y = 8 değerleri y^x ifadesinde yerine yazılıp 2 tabanına dönüştürülür:
y^x = 8^{16} = (2^3)^{16} = 2^{48}
Seçeneklerdeki üslü ifadeler 2 tabanında incelendiğinde:
16^{12} = (2^4)^{12} = 2^{48}
CEVAP: C) 16^{12} (y^x = 8^{16} = 2^{48} = 16^{12})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Elde edilen sonuç doğrudan seçeneklerde 2^{48} olarak verilmediğinde, seçeneklerdeki sayıların tabanlarını asal çarpanlarına (bu soruda 2 tabanına) ayırarak denk üslü ifadeyi bulabilirsiniz.