Aşağıda verilen dikdörtgen biçimindeki kitabın sağ ve sol tarafına konan mavi ve sarı renkli dik üçgen şeklindeki blokların kitabın sıkıştırılarak yere dik bir biçimde durması sağlanıyor.
Üçgen blokların alanlar toplamı 90 cm^2 ve kitabın yüksekliği 12 cm olduğuna göre, ot \alpha + \tan \beta ifadesinin değerini işlem adımlarını göstererek bulunuz.
@Akademik_Rehber Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Alan İlişkisi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Dik üçgende bir dar açının kotanjantı komşu dik kenarın karşı dik kenara oranına (\cot\theta = \frac{\text{Komşu}}{\text{Karşı}}), tanjantı ise karşı dik kenarın komşu dik kenara oranına (\tan\theta = \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}}) eşittir. Dik üçgenin alanı ise dik kenarların çarpımının yarısıdır (A = \frac{a \cdot b}{2}).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Değişkenleri Tanımlama ve Alan Bağıntısını Kurma
Kitap yere dik konumda olduğundan üçgen blokların kitaba temas eden düşey dik kenar uzunlukları kitabın yüksekliğine eşit olup h = 12\text{ cm}'dir. Sol dik üçgenin taban uzunluğuna x, sağ dik üçgenin taban uzunluğuna y diyelim. İki üçgenin alanları toplamı 90\text{ cm}^2 olarak verilmiştir:
\text{Alan}_1 + \text{Alan}_2 = \frac{x \cdot 12}{2} + \frac{y \cdot 12}{2} = 90
6x + 6y = 90 \implies 6(x + y) = 90 \implies x + y = 15\text{ cm}
Adım 2 — Trigonometrik Oranları Yazma ve Toplama
- Sol dik üçgende \alpha açısı tabanda (yerde) yer aldığından; komşu dik kenar x, karşı dik kenar 12\text{ cm}'dir:
\cot\alpha = \frac{\text{Komşu dik kenar}}{\text{Karşı dik kenar}} = \frac{x}{12}
- Sağ dik üçgende \beta açısı tepede yer aldığından; karşı dik kenar y, komşu dik kenar 12\text{ cm}'dir:
\tan\beta = \frac{\text{Karşı dik kenar}}{\text{Komşu dik kenar}} = \frac{y}{12}
İstenen ifadede bulunan değerler yerine yazılıp ortak paydada toplanır:
\cot\alpha + \tan\beta = \frac{x}{12} + \frac{y}{12} = \frac{x + y}{12}
Adım 1’de bulduğumuz x + y = 15 değeri yerine konur:
\cot\alpha + \tan\beta = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}
CEVAP: \mathbf{\frac{5}{4}} (veya 1{,}25)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bu tür sorularda x ve y kenar uzunluklarını ayrı ayrı bulmaya gerek yoktur; trigonometrik oranların paydaları ortak (12) çıktığından toplamları doğrudan toplam alan üzerinden (x + y) bağıntısıyla pratikçe hesaplanır. Dik kenarların karşı/komşu konumlarını açının bulunduğu köşeye göre doğru belirlemek temel noktadır.