Aşağıda verilen ABCD dörtgeninde AD \perp BC olup [AC] ve [BD] köşegenleri E noktasında kesişmektedir.
|AD| = 3 birim ve |BC| = 8 birim olduğuna göre pembe boyalı bölgenin alanı yeşil boyalı bölgenin alanından kaç birimkare fazladır?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
Dörtgende Alan ve Köşegen Özellikleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bir dörtgende köşegenlerin ayırdığı karşılıklı alanların farkı, ortak bir üçgensel bölgenin eklenip çıkarılmasıyla tabanları ortak olan iki büyük üçgenin alanları farkına dönüştürülür:
\text{Alan}(ABE) - \text{Alan}(CDE) = \text{Alan}(ABC) - \text{Alan}(DBC)
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Ortak Alan Ekleme Yöntemi
E noktasında kesişen köşegenlerin sınırladığı BCE bölgesinin alanına S diyelim. Pembe bölgenin alanına A_{\text{pembe}}, yeşil bölgenin alanına ise A_{\text{yeşil}} dersek:
\text{Alan}(ABC) = A_{\text{pembe}} + S
\text{Alan}(DBC) = A_{\text{yeşil}} + S
Bu iki eşitlik taraf tarafa çıkarıldığında S alanları sadeleşir:
A_{\text{pembe}} - A_{\text{yeşil}} = \text{Alan}(ABC) - \text{Alan}(DBC)
Adım 2 — Ortak Taban ve Yükseklik Analizi
Hem ABC hem de DBC üçgenlerinin ortak tabanı [BC] kenarıdır (|BC| = 8\text{ birim}).
- A noktasının BC doğrusuna olan dik uzaklığına h_A diyelim.
- D noktasının BC doğrusuna olan dik uzaklığına h_D diyelim.
A_{\text{pembe}} - A_{\text{yeşil}} = \frac{|BC| \cdot h_A}{2} - \frac{|BC| \cdot h_D}{2} = \frac{|BC| \cdot (h_A - h_D)}{2}
Adım 3 — AD \perp BC Şartının Uygulanması
Soruda AD \perp BC olarak verilmiştir. AD doğru parçası BC doğrusuna dik olduğundan, A ve D noktalarının BC doğrusuna olan uzaklıkları farkı (h_A - h_D), doğrudan |AD| uzunluğuna eşit olur:
h_A - h_D = |AD| = 3\text{ birim}
Elde edilen değerleri yerine yazalım:
A_{\text{pembe}} - A_{\text{yeşil}} = \frac{8 \cdot 3}{2} = 12\text{ birimkare}
CEVAP: E) 12 (A_{\text{pembe}} - A_{\text{yeşil}} = 12\text{ br}^2)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Köşegenleri kesişen dörtgenlerde karşılıklı üçgenlerin alan farkı sorulduğunda, aradaki ortak alanı (BCE) her iki tarafa ekleyerek tabanı bilinen ortak tabanlı iki üçgenin (ABC ve DBC) alan farkına geçmek en hızlı ve pratik çözümdür. Doğruların dikliği sayesinde yükseklikler farkı doğrudan |AD| uzunluğunu verir.
@Akademik_Rehber mala anlatır gibi kural kural anlat
Kural 1: Araya Ortak Parça Koyma (Hileli Yol)
Pembe ve yeşil üçgenler birbirine doğrudan değmiyor. Bu yüzden ikisinin arasındaki sağda kalan boş üçgene (EBC) S diyelim:
- Pembe + S = kocaman bir üçgen yapar: \text{Alan}(ABC)
- Yeşil + S = diğer kocaman üçgen yapar: \text{Alan}(DBC)
Bizden istenen: \text{Pembe} - \text{Yeşil}
İkisinden de aynı S parçasını atarsak fark değişmez:
\text{Pembe} - \text{Yeşil} = \text{Alan}(ABC) - \text{Alan}(DBC)
Kural 2: Üçgende Alan = (\text{Taban} \times \text{Yükseklik}) / 2
Her iki büyük üçgenin de tabanı aynı: [BC] = 8
- ABC üçgeninin alanı: \dfrac{8 \times (A\text{'nın yüksekliği})}{2}
- DBC üçgeninin alanı: \dfrac{8 \times (D\text{'nin yüksekliği})}{2}
Bu iki alanı birbirinden çıkarırsan:
\text{Alan Farkı} = \frac{8 \times (A\text{'nın yüksekliği} - D\text{'nin yüksekliği})}{2}
Kural 3: Diklik Kuralı (AD \perp BC)
Soruda AD’nin BC’ye dik olduğu söylenmiş.
- AD zaten BC’ye dik indiği için, A noktasının tabana olan uzaklığı ile D noktasının tabana olan uzaklığı arasındaki fark doğrudan |AD| uzunluğuna eşittir.
- Yani yükseklikler farkı = 3 birimdir.
Kural 4: Çarp ve İkiye Böl
Formülde yerine koy:
\text{Fark} = \frac{8 \times 3}{2} = \frac{24}{2} = 12
Cevap: E (12)
@Akademik_Rehber diklik kuralını anlayamıyorum
Gözünde canlandırman için bunu bir zemin ve apartman gibi düşünelim:
1. Zemin Neresi?
BC kenarını dümdüz bir yer/zemin olarak hayal et.
Geometride bir noktanın zemine olan “yüksekliği” ne demektir? O noktadan zemine 90^\circ dik inen çizgidir.
2. AD Çubuğu Nasıl Duruyor?
Soru bize AD \perp BC demiş.
Yani AD çubuğu bu zemine zaten 90^\circ dik duruyor! Tıpkı zemine dik çakılmış bir elektrik direği gibi.
3. Aradaki Fark Neden 3 Çıkıyor?
Şimdi bu dik direk üzerinde iki nokta var: Biri A, biri D.
- Zeminden D noktasına kadar olan mesafe: h_D (küçük yükseklik)
- Zeminden A noktasına kadar olan mesafe: h_A (büyük yükseklik)
AD zaten zemine dik bir çizgi olduğu için; A’nın zemine uzaklığından D’nin zemine uzaklığını çıkarırsan, geriye tam olarak A ile D arasındaki mesafe kalır:
\text{Yükseklikler Farkı} = h_A - h_D = |AD| = 3
Özet benzetme:
Bir apartmanın 5. katında A, 2. katında D oturuyor olsun. Aralarındaki mesafe 3 kat. Apartman zemine dik olduğu için, ikisinin yerden yüksekliklerinin farkı da mecburen aralarındaki bu 3 birimlik fark kadar olur.