Aşağıda üç tane dik üçgen biçiminde cetvel kenarlarından birleştirilerek dik yamuk elde edilmiştir

YKS TYT
1

Aşağıda üç tane dik üçgen biçiminde cetvel kenarlarından birleştirilerek dik yamuk elde edilmiştir.
Verilen uzunluklar santimetre türünden olduğuna göre, \tan\alpha trigonometrik oranının değeri kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 20
D) 24
E) 32

Aşağıda üç tane dik üçgen biçiminde cetvel kenarlarından birleştirilerek dik yamuk elde...
Aşağıda üç tane dik üçgen biçiminde cetvel kenarlarından birleştirilerek dik yamuk elde...1024×768 68.9 KB

2

Dik Yamukta Trigonometrik Oranlar ve Benzerlik Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Dik yamukta tabanlar birbirine paralel (AB \parallel CD) ve yan kenarlardan biri tabanlara diktir (BC \perp AB, BC \perp CD). Dik üçgenlerde dar açıların trigonometrik oranları \sin\theta = \frac{\text{Karşı}}{\text{Hipotenüs}}, \cos\theta = \frac{\text{Komşu}}{\text{Hipotenüs}} ve \tan\alpha = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} bağıntılarıyla hesaplanır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Üstteki Dik Üçgenin Açı ve Kenar Değerleri
Yamuğun köşelerini üst taban [AB], alt taban [CD] ve düşey kenar [BC] olacak şekilde adlandıralım. Düşey doğru üzerindeki ortak noktaya E diyelim:

  • Üstteki dik üçgende dik kenarlar |AB| = 8\text{ cm} ve |BE| = 6\text{ cm} olarak verilmiştir.
  • Pisagor teoreminden hipotenüs |AE| = \sqrt{8^2 + 6^2} = 10\text{ cm} olur.
  • m(\widehat{BAE}) = \beta açısı için:
    \cos\beta = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}, \quad \sin\beta = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

Adım 2 — Ortadaki Mavi Dik Üçgenin Konumu ve İzdüşümleri
Ortadaki dik üçgende m(\widehat{DAE}) = 90^\circ ve |AD| = 8\text{ cm} olarak verilmiştir:

  • [AB] yatay doğrusu ile [AE] arasındaki açı \beta olduğundan, [AD] doğru parçasının A noktasından aşağı inen düşey eksenle yaptığı açı da \beta olur.
  • D noktasının A noktasına göre yatay ve düşey uzaklıkları (bileşenleri):
    \text{Yatay Uzaklık} = |AD| \cdot \sin\beta = 8 \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{5} = 4{,}8\text{ cm}
    \text{Düşey Uzaklık} = |AD| \cdot \cos\beta = 8 \cdot \frac{4}{5} = \frac{32}{5} = 6{,}4\text{ cm}

Adım 3 — Alttaki Dik Üçgenin Kenarları ve \tan\alpha Hesabı
Yamuğun tabanları paralel olduğundan [CD] alt tabanı yatay, [BC] kenarı düşeydir:

  • Alt taban uzunluğu:
    |CD| = |AB| + 4{,}8 = 8 + 4{,}8 = 12{,}8\text{ cm}
  • B noktasından D seviyesine kadar olan toplam düşey mesafe 6{,}4\text{ cm}'dir. |BE| = 6\text{ cm} olduğundan:
    |EC| = 6{,}4 - 6 = 0{,}4\text{ cm}
  • Alttaki dik üçgende \alpha = m(\widehat{DEC}) açısının tanjant değeri:
    \tan\alpha = \frac{|CD|}{|EC|} = \frac{12{,}8}{0{,}4} = 32

:white_check_mark: CEVAP: E) 32 (\tan\alpha = 32)

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Dik yamuk sorularında dik üçgenlerin birbirine dik kenarları verildiğinde açı taşıma (90^\circ - \beta, \beta) yaparak yatay ve düşey izdüşümleri bulmak, analitik düzlem koordinat mantığıyla uzunlukları doğrudan ve hatasız hesaplamayı sağlar.