Aşağıda, reel (gerçel) sayılar doğrusu üzerinde dokuz nokta
gösterilmiştir.
a
b
c
d
e
f
g
h
• a, b, C, d, e, f, g, h, k noktaları doğal sayılardır.
•
Bu noktalar sayı doğrusu üzerine eşit araliklarla yerleşti-
rilmiştir.
• Bu sayılardan dört tanesi 23, 45, 78 ve 89 dur.
• Bu sayılardan en küçüğünün 23 olmadiğı bilinmektedir.
Buna göre, k sayisinin alabileceği farklı değerlerin top-
lamı kaçtır?
A) 89
B) 100
C) 167
D) 178
Soru Fotoğrafı:
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Eşit aralıklı sayı doğrusunda ardışık noktalar arasındaki fark sabittir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Noktaları sıraya yerleştirelim
Noktalar soldan sağa doğru
şeklindedir.
Aralarındaki farkı r diyelim.
Bu durumda sayılar
olur.
Adım 2 — Verilen sayıları yerleştirelim
Bu dokuz sayı içinde
saymaları vardır.
En küçük sayının 23 olmadığı biliniyor.
Demek ki 23, en soldaki nokta değildir.
Adım 3 — Olası eşit aralıkları bulalım
Dört sayı arasındaki farklara bakalım:
Bu farklar eşit aralıklı dizide birbirinin katı olmalıdır.
Bu yüzden ortak aralık
olabilir.
Çünkü
sayıları bir eşit aralıklı dizide şu biçimde yer alabilir:
Ancak burada 7 terim vardır; bizim dizimizde 9 terim olmalı.
Bu nedenle diziye iki sayı daha eklenebilir.
Adım 4 — Uygun dizileri inceleyelim
23 en küçük sayı olmadığı için, 23’ün solunda en az bir sayı olmalıdır.
11 ortak aralık alınırsa uygun dizi şu olabilir:
Bu dizide verilen dört sayı vardır ve en küçük sayı 23 değildir.
Burada
olur.
Ama soru k sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamını soruyor.
Bu koşulları sağlayan diğer yerleşim de mümkündür:
Bu durumda verilen sayılar arasında 45, 78, 89 vardır; fakat 23 yoktur.
Dolayısıyla uygun yerleşim yalnızca ilk düzende olur.
Adım 5 — Sonuç
k yalnızca
değerini alır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 100
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Eşit aralıklı dizi
2. Doğal sayı dizisi
SIK YAPILAN HATALAR:
Farkları doğrudan eşitlemek
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Reel sayı doğrusu üzerinde, doğal sayılardan oluşan ve eşit aralıklı yerleştirilen dokuz nokta var: a, b, c, d, e, f, g, h, k. Bu noktalardan 4’ü 23, 45, 78 ve 89 değerlerini alıyor. En küçüğünün 23 olmadığı biliniyor. Buna göre, k sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı soruluyor.
Adım 1 — Eşit aralıklarla yerleşim:
Dokuz nokta eşit aralıklarla sıralanmış, yani:
Burada d aralıktır.
Adım 2 — Bilinen noktalar:
201, 45, 78 ve 89 sayıları bu dokuz noktanın dört tanesidir. Bunlar doğal sayılardır.
En küçüğünün 23 olmadığı belirtildiğine göre, 23 en küçük sayı değildir.
Adım 3 — Aralığı hesaplamaya çalışalım:
Bu sayılar eşit aralıklarla ve doğal sayılar olduğuna göre aralık d bir tamsayıdır.
Her sayı a + nd (n=0..8) şeklindedir.
Bilinen dört sayı a + m d biçimine uymalıdır.
Adım 4 — Sayıları sırayla dizelim:
Varsayalım a en küçük sayı ve doğal sayı.
Son nokta:
Bilinen değerlerden en küçük olmayan 23 olduğunu biliyoruz, o halde a < 23.
Adım 5 — Bilinen değerler arasındaki farklardan aralığı bulalım:
Sayılardan 45 ve 23 farkı:
Benzer şekilde:
Eşit aralık olduğuna göre, bu farklar aralığın tam katları olmalı.
Bu farkların en büyük ortak böleni d olacaktır.
Yani, aralık d = 11 olabilir.
Adım 6 — a değerini belirleyelim:
Şimdi, a için olasılıkları inceleyelim.
Bilinen sayıların konumu:
Burada m_i doğal sayılar, 0 \le m_i \le 8.
d=11 olduğunda:
Benzer şekilde diğerleri:
Bu eşitliği kullanarak m_i arasında ilişki kurabiliriz:
Buradan, m değerleri arasındaki farklar:
Adım 7 — m_1 olasılıklarını inceleyelim:
m_1 sıfırdan başlayıp 8’e kadar olabilir (9 nokta).
Kontrol:
Bu sıralama geçerli.
Aynı şekilde m_1=2 için:
Geçerli.
m_1=3 olamaz çünkü m_4 = m_1 + 6 = 9 ve nokta sayısı 9 olduğu için indeks sınırı 8.
k = a + 8d
Peki k 89 ve 100 olabilir.
Farklı değerlerin toplamı:
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: E) 189
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
