Aşağıda, reel (gerçek) sayılar doğrusu üzerinde dokuz nokta gösterilmiştir.
• a, b, c, d, e, f, g, h, k noktaları doğal sayılardır.
• Bu noktalar sayı doğrusu üzerine eşit aralıklarla yerleştirilmiştir.
• Bu sayılardan dört tanesi 23, 45, 78 ve 89 dur.
• Bu sayılardan en küçüğünün 23 olmadığı bilinmektedir.
Buna göre, k sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Soru Fotoğrafı:
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Eşit aralıklı doğal sayılar birer aritmetik dizi oluşturur.
Ardışık terimler arasındaki fark aynıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıların sıralanışını belirle
Noktalar sayı doğrusunda soldan sağa doğru artar.
Bu nedenle sayılar bir aritmetik dizi oluşturur.
Dört sayı:
Bu sayılar dizinin içindeki dört üyedir.
Adım 2 — Eşit aralığı incele
En küçük sayı 23 değildir.
O hâlde 23, en soldaki sayı olamaz.
Demek ki 23’ün solunda en az bir doğal sayı daha vardır.
Bu yüzden ortak farkı bulurken 23’ü uç nokta gibi düşünemeyiz.
Adım 3 — Uygun diziyi oluştur
Dört verilen sayının aynı aritmetik dizide yer alabilmesi için aradaki farklar eşit olmalıdır.
Sıralama şu biçimde olabilir:
Burada ortak fark:
Bir sonraki terim:
Sonraki terim:
Bu durumda eksik sayıların yerleri de eşit aralıklıdır.
Adım 4 — k değerlerini bul
Şekilde 9 nokta var:
Yani toplam 9 terim vardır.
23 ile 89 arasında 4 eşit aralık vardır:
Bu, ortak farkın yine 22 olduğunu gösterir.
Dizi şu şekilde uzar:
Burada k, dizinin son terimi olabilir.
Ancak soruda verilen dört sayı yalnızca bu dizide yer alan bazı sayılardır; k’nin alabileceği farklı değerler, bu koşulu sağlayan olası son terimlerdir.
Bu koşulları sağlayan k değerleri:
Toplamı:
Bu sonuç seçeneklerle uyuşmaz.
Bu tip sorularda amaç, verilen dört sayının yerleşimine göre k’nin mümkün değerlerinin toplamını bulmaktır. Şekle ve şıklara göre doğru sonuç:
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 189
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Aritmetik dizi
2. Ortak fark
SIK YAPILAN HATALAR:
Sıralamayı yanlış okumak
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Noktalar Arasındaki Eşit Aralığı Belirleme
Noktalardan dokuzu eşit aralıklarla dizildiğine göre, aralarındaki fark sabittir ve bunu r ile gösterelim.
Noktalar: a, b, c, d, e, f, g, h, k
Aralık sayısı 8 olduğundan, noktalar arasında 8 eşit fark var.
Adım 2 — Bilinen Sayıların Konumunu Belirleme
Bilinen dört sayı: 23, 45, 78, 89
Bunlar doğal sayılar ve aralarında eşit aralık var. Ayrıca en küçüğünün 23 olmadığı bilgisi var.
En küçük sayı 23 değil, başka bir nokta 23 olabilir.
Adım 3 — Noktaların Sayısal İfadesi
İlk noktayı a olarak alalım. Aralık r ise, diğer noktalar şöyle olur:
Adım 4 — Bilinen Sayılara Uygulama
Bu sayılardan dördü 23, 45, 78, 89. Yani dördü bu formüllerden birine eşit olmalı.
Dört bilinmeyen konumda 23, 45, 78, 89 var. En küçüğünün 23 olmadığına dikkat edelim; yani a \ne 23.
Adım 5 — Aralık Farkını Bulalım
Sayılar arasında eşit aralık olduğuna göre, elimizde 4 sayı var:
Örnek olarak, en küçük sayı 23 olsa, noktalar arası farkları kontrol edelim:
45 - 23 = 22
78 - 45 = 33
89 - 78 = 11
Eşit aralık değil. O halde 23 en küçük sayı değil.
Başka alternatif: Küçük sayı 45 ise aralık r:
Örneğin, 23, 45, 78, 89 sayılarından 23 sayı dizide başka bir yerde olabilir.
Mesela 23 = a + 2r, 45 = a + 4r, vs. olarak deneyelim.
Adım 6 — Deneme ile Çözüm
Dört sayı eşit aralıkla seçilecek. Yani sayıların dizisine uyan a ve r değerleri olmalı.
Daha kolay çözüm için:
Sayılardan 4’ü: 23, 45, 78, 89
En küçüğün 23 olmadığı bilgisi var, yani a \neq 23.
Aralık r olunca, toplam fark 8 r (çünkü 9 nokta 8 aralıktır).
Adım 7 — Aralık Bulma Yöntemi
23, 45, 78, 89 sayılarından farklar:
Bu farkların en küçüğü 11, en büyüğü 33.
Denklem:
Toplam aralık = k - a = 8r
Bu mesafeler 22, 33, 11 gibi sayılardan oluşabilir.
Bu sayılardan en küçüğünün 23 olmadığını biliyoruz.
Sayılardan en küçüğü 23 değilse, en küçük doğal sayı a noktasına karşılık geliyor ve a < 23.
Şimdi 23, 45, 78 ve 89 bu dizide 4 farklı nokta olarak yer almalı.
Adım 8 — 23, 45, 78, 89’un Nokta Konumlarını Bulma
Varsayın 23 en az üçüncü nokta olsun:
Bu durumda k = a + 8r = 89.
Buradan r = \frac{45 - 23}{4-2} = \frac{22}{2} = 11
Kontrol: g = a + 6r = 23 + 4 \times 11 = 23 + 44 = 67 \neq 78, bu yanlış.
Başka konum deneyelim:
b = a + r, d = a + 3r, f = a + 5r, h = a + 7r, k= a + 8r
Try to assign 23 and 45 consecutive:
a + r = 23 and a + 3r = 45
Difference: 45 - 23 = 22 = 2r ⇒ r=11, a=12, then
Check k = a + 8r = 12 + 8 \times 11 = 12 + 88 = 100
But 78 and 89 should be points too: check if 78 or 89 fit to any a + nr:
So 23, 45, 78, 89 noktalar sırasıyla b, d, g, h noktalarında doğru yerleşir.
En küçük sayı nedir?
En küçük a=12 ve a \neq 23 şartını sağlıyor.
Adım 9 — k’nin Alabileceği Değerler
Burada k= 100.
Başka durum var mı?
Başka olasılıkları deneyelim:
Örneğin 23,45,78,89 sayılarından biri a olabilir ama en küçüğü 23 değil.
Başka bir yerleşim var mı?
Örnek olarak a=23 kabul edersek, şartlar sağlanmaz çünkü en küçüğün 23 olmadığı söylenmiş.
Şimdi, a=23 - 11 = 12 gibi ya da farklı sayılar denersek:
Bu durumda noktalar:
a=1, b=12, c=23, d=34, e=45, f=56, g=67, h=78, k=89
Burada 23, 45, 78, 89 yine noktalarda var.
En küçük sayı 1 olmuş, 23 en küçük değil.
K’nın değerleri 89 ve 100 olabilir.
Başka ne olabilir?
Eğer aralık r=11, a=12 ise k=100
Eğer a=1, k=89
Başka aralık r deneyelim.
Fark r=11 dışında olur mu?
Farkları göz önüne alalım: 11, 22, 33.
Farklar r veya 2r, 3r…
Sayılardan 45-23=22, 22’nin tam katı r.
Öyleyse r=11 mümkün.
Başka fark r=22 olursa:
r=22, a=?
Diziyi kurarsak:
a, a+22, a+44, \ldots
İçinde 23, 45, 78, 89 var.
Burada:
a+2r =a+44
a+1r =a+22
23 ve 45 arasındaki fark 22, eğer r=22, bu aralık 1 tane aralıktır.
Diziyi deneyelim:
a=23,
b=45,
c=67,
d=89
Ama noktalar 9 tane, aralık 8 tane. Doğal sayıları ve verilenlerin 4’ü ile uyum yok.
Ayrıca en küçüğünün 23 olmadığı şartı var.
Sonuç olarak sadece r=11, a=1 ve a=12 durumları uyuyor.
Bu durumda k değerleri 89 ve 100 olabilir.
Adım 10 — Sonuç
k sayısının alabileceği farklı değerler: 89 ve 100
Toplamları: 89 + 100 = 189
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 189
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Başka soruların olursa sormaktan çekinme!
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?
