Asağida orta selajandekioim alana otomatik sulama hatti yapılacak olan cadaenin görseli verimiştir Retüj üzeribde işaretenenA, Bve C noktalarında su vanaları bulunmaktadır. Sulama hattinın yapılacağı A ve B vanalaLnden est mesafede olacak şekide 180

Maths Question
1

Asağida orta selajandekioim alana otomatik sulama hatti yapılacak olan cadaenin görseli verimiştir Retüj üzeribde işaretenenA, Bve C noktalarında su vanaları bulunmaktadır. Sulama hattinın yapılacağı A ve B vanalaLnden est mesafede olacak şekide 180 mB Ve Cvanalari arasındaki mesafe 150 m’dir. Bu hat üzerine vanalara fiskiyeler doğrusal olarak yerleştirilecekti. Buna göre ardişık iki fiskiye arasındaki mesafenin metre cinsindenalabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır? A) 4 B) 6 C) 7 D) 8

!Resim [Link Silindi]

2

:pushpin: SORU:
A ve B vanaları arasındaki mesafe 180 m, B ve C vanaları arasındaki mesafe 150 m’dir. Bu hatta, vanalara ve birbirlerine eşit mesafede fıskiyeler yerleştirilecektir. Ardışık iki fıskiye arasındaki mesafenin metre cinsinden alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Bir doğru üzerinde, verilen mesafelerin ortak bölenlerini bulmak gerekir.
  • Ardışık fıskiyeler arasındaki mesafe bu ortak bölenlerden biri olmalıdır.
  • Farklı doğal sayı değerleri, verilen mesafelerin ortak bölenlerinin sayısı kadardır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Verilen mesafeleri yaz:
A ve B arası mesafe = 180 m
B ve C arası mesafe = 150 m

Adım 2 — Ortak bölenleri bul:
180 ve 150 sayılarının pozitif tam bölenlerini bul ve ortak olanları belirle.

  • 180’in bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 60, 90, 180
  • 150’nin bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 25, 30, 50, 75, 150

Ortak bölenler: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Adım 3 — Doğal sayı değerlerin sayısı:
Ortak bölen sayısı = 8 (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30)

Adım 4 — Doğal sayılar içinde mantıklı olanları belirle:
Genellikle fıskiye arası mesafe 1 metre gibi çok küçük mesafe pratik olmayabilir; soruda istenilen doğal sayılar olduğundan tüm ortak bölenler sayılır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 8
(D şıkkı)

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

SORU: A ve B vanaları arasındaki mesafe 180 m, B ve C vanaları arasındaki mesafe 150 m verilmiştir. Fıskiyeler vanalara ve birbirlerine metre cinsinden eşit aralıklarla yerleştirilecektir. Ardışık iki fıskiye arasındaki mesafenin alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri vardır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • EBOB (En büyük ortak bölen): İki sayının ortak bölenlerinin en büyüğü.
  • Bölen sayısı formülü: Eğer n=p_1^{a}p_2^{b}\dots ise pozitif bölen sayısı (a+1)(b+1)\dots olur.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — EBOB’u bulmak için sayıları asal çarpanlarına ayır

180 sayısının asal çarpanlara ayrılması:
180=2^{2}\times 3^{2}\times 5^{1}

150 sayısının asal çarpanlara ayrılması:
150=2^{1}\times 3^{1}\times 5^{2}

Adım 2 — EBOB’u hesapla (her asal için en küçük üssü al)

EBOB (180,150)=2^{\min(2,1)}\times 3^{\min(2,1)}\times 5^{\min(1,2)}
EBOB =2^{1}\times 3^{1}\times 5^{1}=2\times 3\times 5=30

Adım 3 — 30’un pozitif bölen sayısını hesapla

30’un asal çarpanları: 30=2^{1}\times 3^{1}\times 5^{1}
Pozitif bölen sayısı =(1+1)(1+1)(1+1)=2\times 2\times 2=8

Adım 4 — (İsteğe bağlı) Bölenleri listele

30’un pozitif bölenleri: 1,2,3,5,6,10,15,30 (8 tane)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. EBOB
  • Tanım: İki sayının ortak bölenleri arasındaki en büyük sayı.
  • Bu problemde: Ardışık fıskiyeler arası mesafe, hem 180’i hem 150’yi bölecek bir tam sayı olmalıdır; dolayısıyla EBOB ile ilişkilidir.
  1. Bölen sayısı formülü
  • Tanım: Bir sayının asal çarpanlarının üslerine göre pozitif bölen sayısı hesaplanır.
  • Bu problemde: EBOB = 30 olduğundan, 30’un bölen sayısı aradığımız farklı mesafe sayısını verir.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Asal çarpanları yanlış bulmak

  • Yanlış: 180 ve 150’nin çarpanlarını hatalı yazmak.
  • Doğru: 180 = 2^{2}\cdot3^{2}\cdot5^{1}, 150 = 2^{1}\cdot3^{1}\cdot5^{2}.
  • Neden yanlış: Yanlış faktorizasyon EBOB ve dolayısıyla bölen sayısını yanlış yapar.
  • Düzeltme: Her sayıyı dikkatle asal çarpanlarına ayırın ve üsleri doğru alın.

:cross_mark: 1 ve sayının kendisini saymamak

  • Yanlış: Bölen sayısı hesabında 1 veya sayının kendisini atlamak.
  • Doğru: Hem 1 hem de sayının kendisi dahil edilmelidir; formül (a+1)(b+1)\dots bunu sağlar.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:white_check_mark: CEVAP: D) 8

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?