Aşağıda ön yüzü yeşil, arka yüzü mavi renkte dik üçgen şeklindeki bir karton Şekil 1’de gösterildiği gibi bir köşesi diğer kenar üzerine gelecek şekilde katlanarak Şekil 2’deki görsel elde ediliyor.
Şekil 1’de verilen üçgenin dik kenar uzunlukları 12 cm ve 15 cm olduğuna göre Şekil 2’de yeşil üçgenin görünen kısmının alanının kaç santimetrekare olduğunu bulunuz.
Katlanan Dik Üçgende Alan Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Katlama Prensibi: Bir şekil katlandığında katlama çizgisi açıortay olur; katlanan parça ile oluşan yeni parça eştir (kenar uzunlukları ve açılar korunur).
- Pisagor Teoremi: a^2 + b^2 = c^2
- Dik Üçgen Alanı: \text{Alan} = \dfrac{\text{Dik Kenar}_1 \times \text{Dik Kenar}_2}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Köşe ve Kenarların İsimlendirilmesi
Dik üçgenimize ABC diyelim:
- Dik açının bulunduğu köşe: A olsun, m(\widehat{A}) = 90^\circ
- Dikey kenar: |AB| = 12\text{ cm}
- Yatay kenar: |AC| = 15\text{ cm}
- Katlanan köşe: Sol alt köşe olan B köşesi, hipotenüs üzerindeki bir B' noktasına katlanmıştır. Katlama çizgisi A köşesinden geçen [AD] doğru parçasıdır (D \in [BC]).
Adım 2 — Katlama Özelliğinin Uygulanması
B köşesi A boyunca katlanıp hipotenüs [BC] üzerine geldiğinde:
- |AB| = |AB'| = 12\text{ cm} olur.
- m(\widehat{AB'D}) = m(\widehat{B}) = 90^\circ değil, katlanan köşe B açısı B' noktasına taşınır.
- Şekil 2 dikkatle incelendiğinde; dik köşe A tepe noktasıdır. Katlama çizgisi hipotenüs üzerindeki bir noktadan dik kenara doğru yapılmıştır:
- B köşesi [AC] kenarı (alt taban) üzerine katlanmıştır.
- Katlanan köşe dik açılı köşe (A) değil, sol alt köşedir. Görselde sol alt köşe katlanarak hipotenüs üzerine değil, sağdaki eğik kenara doğru katlanmıştır.
- Standart katlama modelinde: A köşesi dik açı (90^\circ) olduğundan, Şekil 1’de sol üstteki açı 90^\circ olarak işaretlenmiştir.
- Dik kenarlar 12\text{ cm} ve 15\text{ cm}'dir: Düşey kenar 12\text{ cm}, yatay dik kenar 15\text{ cm} (veya tersi).
- Görselde katlanan köşe sol alt köşedir ve kat izi tepe dik açısından geçerek karşı kenara inmektedir. Katlanan sol kenar, üstteki hipotenüsün/kenarın üzerine çakışmaktadır.
- Dolayısıyla katlanan mavi üçgen ile katlanmadan önceki parça eştir.
- Sol dik kenar 12\text{ cm}, yatay taban 15\text{ cm} alındığında:
Tüm üçgenin alanı:\text{Alan}(Tüm) = \dfrac{12 \times 15}{2} = 90\text{ cm}^2
Adım 3 — Katlanan Parçanın ve Kalan Alanın Hesaplanması
- Katlama çizgisi tepe açısından tabana inen açıortaydır.
- Dik üçgende dik açıdan çıkan açıortay tabanı kenarlar oranında böler:
İç Açıortay Teoremi gereğince tabandaki parçaların oranı dik kenarların oranına eşittir:\dfrac{\text{Taban}_1}{\text{Taban}_2} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5} - Yükseklikleri eşit olan üçgenlerin alanları, taban uzunlukları ile doğru orantılıdır:\text{Alan}(\text{Mavi Bölge}) = 90 \times \dfrac{4}{4 + 5} = 90 \times \dfrac{4}{9} = 40\text{ cm}^2
- Katlama sonucunda mavi bölge, yeşil bölgenin üzerine katlanarak bu 40\text{ cm}^2’lik alanı kaplar.
- Şekil 2’de görünen yeşil alan, toplam alandan katlanan mavi parçanın (iki kat kapladığı alan gibi düşünüldüğünde, başlangıçtaki yeşil alandan mavi üçgenin kapladığı alan çıkarılarak) geriye kalan kısmıdır:\text{Görünen Yeşil Alan} = \text{Tüm Alan} - 2 \times \text{Alan}(\text{Mavi Bölge})Fakat Şekil 2’de mavi üçgen katlanmış halde dururken arkasında kalan yeşil kısım sadece kalan bölgedir:\text{Görünen Yeşil Alan} = 90 - (40 + 40) = 10\text{ cm}^2
(Not: Katlama kenar üzerine birebir çakıştığında kalan yeşil üçgenin tabanı 15 - 12 = 3\text{ cm} olan benzer/paralel parça üzerinden de \dfrac{3 \times \dots}{2} bağıntısıyla 10\text{ cm}^2 bulunur.)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 10\text{ cm}^2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Katlama ve Açıortay İlişkisi: Bir kenar diğer bir kenarın üzerine katlandığında oluşan katlama çizgisi her zaman bu iki kenar arasındaki açının açıortayıdır.
- Alan Paylaştırma: Aynı tepe noktasına sahip üçgenlerin alanları tabanları ile orantılıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Görünen yeşil alanı bulmak için sadece tüm alandan mavi alanı bir kez çıkarmak (90 - 40 = 50\text{ cm}^2).- Doğru Yaklaşım: Katlanan parça alttaki yeşil bölgenin bir kısmının üzerini örttüğü için, katlanan alan kadar kısım görünmez olur. Dolayısıyla geriye yalnızca katlanmayan tek katlı yeşil bölge kalır.
Benzer bir katlama ve alan sorusuyla pratik yapmak ister misin?