Aşağıda O merkezli birim çember ve çember üzerindeki A ve B noktaları verilmiştir.
m(widehat{AOB}) = \alpha ve B(k, \frac{5}{3}) olduğuna göre, os\alpha değeri kaçtır?
Birim Çemberde Trigonometrik Oranlar
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Birim Çember Denklemi: Merkezi orijin (0,0) ve yarıçapı r = 1 birim olan çemberin denklemi:x^2 + y^2 = 1
- Açı ve Koordinat İlişkisi: Başlangıç kolu pozitif x ekseni olan standart konumdaki bir \alpha açısının birim çemberi kestiği B noktasının koordinatları:B(\cos\alpha, \sin\alpha)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — B noktasının koordinatlarını belirleme
Şekilde A(1, 0) noktası başlangıç kolu üzerinde olup, \alpha açısı standart konumda pozitif yönlü bir açıdır. Bu durumda birim çember üzerindeki B noktasının apsisi \cos\alpha, ordinatı ise \sin\alpha değerine eşittir:
B\left(k, \frac{\sqrt{5}}{3}\right) \implies \cos\alpha = k \quad \text{ve} \quad \sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}
Adım 2 — Birim çember denklemini kullanarak k değerini hesaplama
B noktası birim çember üzerinde yer aldığından koordinatları x^2 + y^2 = 1 denklemini sağlar:
k^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1
k^2 + \frac{5}{9} = 1
k^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}
Adım 3 — Bölgeye göre işaret tespiti yapma
B noktası koordinat sisteminin II. bölgesinde yer almaktadır. II. bölgede apsis (x) negatif değer alır:
k = -\sqrt{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{3}
Buradan \cos\alpha = k = -\frac{2}{3} olarak bulunur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: A) -\frac{2}{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Birim Çember: Yarıçapı 1 birim olan çemberdir. Üzerindeki her (x, y) noktası için x^2 + y^2 = 1 bağıntısı geçerlidir.
- Trigonometrik Temsil: Standart açıların birim çemberi kestiği noktanın birinci bileşeni daima \cos\alpha, ikinci bileşeni daima \sin\alpha’dır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: II. bölgede kosinüsün işaretini dikkate almayıp k = \frac{2}{3} diyerek E seçeneğine gitmek veya kosinüs ile sinüsün yerini karıştırıp -\frac{\sqrt{5}}{3} (B seçeneği) işaretlemek.- Doğru Yaklaşım: II. bölgede x < 0 ve y > 0 olduğu için \cos\alpha < 0 olmalıdır.
Benzer bir birim çember sorusuyla konuyu pekiştirmek ister misin?