Aşağıda her birinin yüksekliği \sqrt{12} metre olan 5 adet kutu üst üste dizilmiştir.
Bir top yere çarptırılarak kutuların üzerinden atılmaya çalışılıyor.
Bu topun kutuları devirmeden üzerinden geçebilmesi için yere çarptıktan sonra yükselmesi gereken uzunluğun metre türünden en küçük tam sayı değeri kaçtır?
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
Kareköklü Sayılarda Sıralama ve Yaklaşık Değer Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Kareköklü bir ifadenin hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulmak için ifade kök içine alınır (a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}) ve en yakın ardışık tam kare sayılarla karşılaştırılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kutuların Toplam Yüksekliğini Hesaplama
Her bir kutunun yüksekliği \sqrt{12} metre ve üst üste dizilmiş 5 kutu bulunmaktadır. Toplam yükseklik (H):
H = 5 \cdot \sqrt{12} = 5 \cdot 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\text{ metre}
Adım 2 — İfadeyi Kök İçine Alma
Katsayıyı kök içine alarak toplam yüksekliğin karekök değerini bulalım:
10\sqrt{3} = \sqrt{10^2 \cdot 3} = \sqrt{100 \cdot 3} = \sqrt{300}\text{ metre}
Adım 3 — Yaklaşık Değer ve En Küçük Tam Sayıyı Belirleme
Topun kutuların üzerinden geçebilmesi için yükselmesi gereken mesafe kutuların toplam yüksekliğinden büyük olmalıdır (h > \sqrt{300}). \sqrt{300} sayısına en yakın tam kare sayılar:
289 < 300 < 324 \implies \sqrt{289} < \sqrt{300} < \sqrt{324} \implies 17 < \sqrt{300} < 18
Bu durumda \sqrt{300} \approx 17,32 metre olur. Topun kutuları devirmeden geçebilmesi için ulaşması gereken en küçük tam sayı yüksekliği 18 metredir.
CEVAP: C) 18 (h > 10\sqrt{3} \implies h_{\min} = 18)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kök dışındaki katsayıyı kök içine alırken karesini almayı unutmamak gerekir. \sqrt{300} ifadesi 17’den büyük olduğu için 17 metre yüksekliğe çıkan bir top kutulara çarpar; kutuların üzerinden aşabilmesi için en az 18 metreye yükselmelidir.