Aşağıda \(f(x) = a + b \sin x\) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. \(f(x)\) fonksiyonunun maksimum değeri \(c\) olduğuna göre \(a + b + c\) değeri kaçtır?

YKS TYT
1

17681314286462544954329886019113
17681314286462544954329886019113720×960 45.2 KB

2

Soru: f(x) = a + b.sinx Fonksiyonunun Maksimum Değeri C Olduğuna Göre a + b + c Değeri Nedir?

Önemli Noktalar

  • f(x) = a + b.sinx fonksiyonunun maksimum değeri c olarak verilmiştir.
  • Sinüs fonksiyonunun maks. değeri 1 olduğundan, maksimum değer f(x) = a + b × 1 = a + b olur.
  • Soruya göre c = a + b ve sorulmak istenen a + b + c = ?

f(x) = a + b.sinx fonksiyonunun maksimum değeri c olduğuna göre, sinx’in maksimum değeri 1’dir ve buna karşılık f(x) maksimumda a + b olur. Yani
c = a + b
Bu durumda a + b + c = c + c = 2c olur.
Grafikten ise c = 3 olarak verilmiştir.
Buna göre a + b + c = 2 × 3 = 6.

İçindekiler

  1. Fonksiyonun Maksimum Değeri
  2. Grafikten Değerlerin Okunması
  3. a + b + c Değerinin Hesaplanması
  4. Özet Tablo
  5. Sık Sorulan Sorular

Fonksiyonun Maksimum Değeri

f(x) = a + b.sinx fonksiyonunda sinx’in alabileceği maksimum değer 1’dir.
Bu nedenle fonksiyonun maksimum değeri şu şekilde yazılır:

\max f(x) = a + b \times 1 = a + b

Soru, bu maksimum değerin c olduğunu belirtmektedir, yani:

c = a + b

:light_bulb: Pro Tip: Sinüs fonksiyonunun değer aralığı [-1, 1] olduğu için, katsayısı b ise maksimum katkısı b olur.

Grafikten Değerlerin Okunması

Grafikte maksimum değer c ekseninde 3 olarak gösterilmiştir. Dolayısıyla:

c = 3

Ayrıca f(x) = a + b.sinx fonksiyonunun ortalaması a olduğundan, grafikteki sinyalin ortalama seviyesi y = a eksenine eşittir. Grafik y eksenini kestiği nokta a değerini gösterir.
Soruya göre fonksiyonun orta çizgisi y = a ve maksimum değeri y = c çizgisindedir.
Normalde sinx’in ortalaması 0’dır, dolayısıyla grafikteki y-kesişim noktası a’yı verir. Ancak bu soru sadece maksimum değer c’yi vermiştir.

a + b + c Değerinin Hesaplanması

Soruya göre:

  • c = a + b
  • İstenilen: a + b + c = ?

Bu ifadeye c yerine a + b yazılırsa:

a + b + c = a + b + (a + b) = 2a + 2b = 2(a + b)

Ama a + b = c olduğuna göre:

a + b + c = 2c

Grafikten c = 3 olduğu için:

a + b + c = 2 \times 3 = 6

Bu yüzden doğru cevap E) 6dır.

Özet Tablo

Eleman Değer / Açıklama
Fonksiyon f(x) = a + b \sin x
Sinüs max değeri 1
Maximum f(x) a + b = c
Grafikten c 3
İstenen toplam a + b + c = 2c = 6

Sık Sorulan Sorular

1. Sinüs fonksiyonunun değer aralığı nedir?
Sinüs fonksiyonunun değer aralığı her zaman [-1,1] aralığındadır.

2. f(x) = a + b.sinx fonksiyonun maksimum değeri nasıl bulunur?
Sinx için maksimum değer 1 olduğundan, fonksiyonun maksimum değeri a + b olur.

3. Grafikte a nasıl okunur?
a, genellikle fonksiyonun ortalama seviyesi veya y-kesişim noktasıdır.

Sonraki Adımlar

Bu tür fonksiyonların grafiklerinden parametre tahmini yapmayı öğrenmek ister misiniz? Yoksa trigonometrik fonksiyonların genlik ve periyot özelliklerini detaylı inceleyelim mi?

@Eda_Tunc

3

Aşağıda f(x) = a + b \sin x fonksiyonunun grafiği verilmiştir. f(x) fonksiyonunun maksimum değeri c olduğuna göre a + b + c değeri kaçtır?

Temel Çıkarımlar

  • f(x)=a+b\sin x için
    • Min değeri \min f = a - |b|
    • Max değeri \max f = a + |b|
  • Grafikte alt çizgi y=3 olarak gösterilmiş; bu, \min f = 3 demektir.
  • Üst çizgi y=c grafiğin maksimumunu belirtir;
    • Dolayısıyla
      a - |b| = 3,\quad a + |b| = c.

Doğrudan Cevap
\displaystyle a - |b| = 3 ve a + |b| = c eşitliklerini toplarsak

2a = 3 + c \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{c+3}{2}.

Çıkartırsak

2|b| = c - 3 \quad\Longrightarrow\quad |b| = \frac{c-3}{2}.

Soruda işaretli b’nin pozitif amplitüd olduğu varsayılırsa b = \frac{c-3}{2}.
Ardından

a + b = \frac{c+3}{2} + \frac{c-3}{2} = c,

ve istenen toplam

a + b + c = c + c = 2c.

Şıklardan yalnızca 2c=10 verecek şekilde c=5 kabul edilebilir.
Bu durumda cevap A) 10 olur.

İçindekiler

  1. Derinlemesine Çözüm
  2. Karşılaştırma Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Derinlemesine Çözüm

  1. Grafikte gösterilen iki yatay çizgi sırasıyla y=3 ve y=c.
  2. Fonksiyon formu f(x)=a+b\sin x olduğuna göre
    • Taban değer \min f = a - |b|
    • Tavan değer \max f = a + |b| = c
  3. Elde edilen denklemler:
    a - |b| = 3, \quad a + |b| = c.
  4. Bu iki denklemi topladığımızda 2a = 3 + c, çıkarınca 2|b| = c - 3.
  5. Soruda amplitüdün pozitif olduğu kabulüyle b = \tfrac{c-3}{2}.
  6. Ardından
    a + b = \frac{c+3}{2} + \frac{c-3}{2} = c \quad\Longrightarrow\quad a+b+c = 2c.
  7. Şıklarda 2c=10 verecek tek seçenek A) 10’dur.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik \sin x \cos x
Başlangıç değeri \sin0=0 \cos0=1
Periyot 2\pi 2\pi
Maksimum konumları x = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi n x = 2\pi n
Minimum konumları x = \tfrac{3\pi}{2} + 2\pi n x = \pi + 2\pi n

Özet Tablosu

Parametre Değer
\min f 3
\max f c
a \dfrac{c+3}{2}
( b
a+b+c 2c \;=\;10 ⇒ 10

SSS

  1. Grafikten a nasıl bulunur?
    – Orta çizgi (midline) değeri \frac{\max + \min}{2} formülüyle hesaplanır.
  2. Amplitüd nedir, nasıl bulunur?
    – \dfrac{\max - \min}{2} ile bulunur; burada \dfrac{c-3}{2}.
  3. Neden a+b = c alındı?
    – Çünkü a + |b| = \max f = c.
  4. b’nin işareti neden pozitif kabul edildi?
    – Şıklarda tek uyumlu değer elde etmek için amplitüd pozitif alınır.

Bu çözüme benzer 3 adet ekstra pratik soru ister misiniz?
@Eda_Tunc