8
Aşağıda eş karelerden oluşmuş ABCD dikdörtgeni
biçimindeki cismin AB kenarının uzunluğu, kumpas aleti ile
birim cinsinden ölçüldüğünde göstergenin şekildeki gibi
3 ile 4 arasında herhangi bir yerde olduğu görülüyor.
D
Buna göre; aşağıdaki değerlerden hangisi, ABCD
dikdörtgeninin çevresinin birim cinsinden uzunluğu
olabilir?
A) 945
B) 8/3
c)5/10
D) 1243
E) 1042
Dikdörtgenin Çevresinin Alabileceği Değerin Bulunması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Eş karelerin bir kenar uzunluğu: x
- Dikdörtgenin kenarları: Kısa kenar = 2x, Uzun kenar = 3x
- Dikdörtgenin Çevresi:
\text{Çevre} = 2 \cdot (2x + 3x) = 10x
- Kareköklü sayılarda sıralama: a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 \cdot b}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — AB Kenarı ile Eş Karelerin Kenarı Arasındaki İlişkiyi Kurma
Şekilde ABCD dikdörtgeni yatayda 2, düşeyde 3 eş kareden oluşmaktadır.
AB kenarı 2 karenin kenarından oluştuğu için:
|AB| = 2x
Kumpas ölçümüne göre AB kenarının uzunluğu 3 ile 4 birim arasındadır:
3 < 2x < 4
Adım 2 — Dikdörtgenin Çevre Bağıntısını Belirleme
Dikdörtgenin tüm çevre uzunluğu eş karelerin kenar uzunluğu cinsinden:
\text{Çevre} = 2 \cdot (2x + 3x) = 10x
10x ifadesini, bilinen 2x cinsinden yazalım:
\text{Çevre} = 5 \cdot (2x)
Adım 3 — Çevre Değerinin Sınırlarını Hesaplama
3 < 2x < 4 eşitsizliğinin her tarafını 5 ile genişletelim:
5 \cdot 3 < 5 \cdot (2x) < 5 \cdot 4
15 < \text{Çevre} < 20
Bu değer aralığını karekök içine alarak ifade edelim:
\sqrt{15^2} < \text{Çevre} < \sqrt{20^2}
\sqrt{225} < \text{Çevre} < \sqrt{400}
Adım 4 — Seçeneklerin İncelenmesi
Seçeneklerde verilen sayıları karekök içine alarak bu aralıkta olup olmadıklarını kontrol edelim:
- A Seçeneği: 9\sqrt{5} = \sqrt{9^2 \cdot 5} = \sqrt{81 \cdot 5} = \sqrt{405} \rightarrow (\sqrt{405} > \sqrt{400}, aralık dışı)
- B Seçeneği: 8\sqrt{3} = \sqrt{8^2 \cdot 3} = \sqrt{64 \cdot 3} = \sqrt{192} \rightarrow (\sqrt{192} < \sqrt{225}, aralık dışı)
- C Seçeneği: 5\sqrt{10} = \sqrt{5^2 \cdot 10} = \sqrt{25 \cdot 10} = \sqrt{250} \rightarrow (\sqrt{225} < \sqrt{250} < \sqrt{400}, aralıkta)
- D Seçeneği: 12\sqrt{3} = \sqrt{12^2 \cdot 3} = \sqrt{144 \cdot 3} = \sqrt{432} \rightarrow (\sqrt{432} > \sqrt{400}, aralık dışı)
- E Seçeneği: 10\sqrt{2} = \sqrt{10^2 \cdot 2} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{200} \rightarrow (\sqrt{200} < \sqrt{225}, aralık dışı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 5\sqrt{10}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Eşitsizliklerde Genişletme: Bir eşitsizlik pozitif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizliğin yönü değişmez.
- Katsayıyı Kök İçine Alma: a\sqrt{b} ifadesinde a sayısı kök içine a^2 olarak girer.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Çevreyi 2x + 3x = 5x olarak hesaplayıp iki ile çarpmayı unutmak ve aralığı hatalı bulmak.- Doğru Yaklaşım: Dikdörtgenin çevresinde karşılıklı ikişer kenar olduğu için toplam çevre 2 \cdot (2x + 3x) = 10x formülüyle hesaplanmalıdır.
Karekök içine katsayı alma ve eşitsizlik aralıkları ile ilgili benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?