Aşağıda doğrusal bir sokağın aynı tarafında bulunan ve bazıları pembe, bazıları gri renkte olan 5 ev verilmiştir. Kapı numaraları üstlerinde yazılı olan bu evlerin birinde Ayten oturmaktadır.
Ayten’in oturduğu ev ile ilgili
p: İki ağacın arasındadır.
q: Pembe renkte değildir.
r: Kapı numarası çift sayıdır.
önermeleri verilmiştir.
(p Rightarrow r) Rightarrow q' önermesi yanlış olduğuna göre Ayten’in oturduğu evin numarası kaçtır?
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
Mantık Önermeleri ile Ayten’in Ev Numarasının Bulunması
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- İse (\Rightarrow) Bağlacı Kuralı: A \Rightarrow B \equiv 0 ise ancak ve ancak A \equiv 1 ve B \equiv 0 olur.
- Değil (\prime) Kuralı: q' \equiv 0 \implies q \equiv 1
- Doğruluk Değeri 0 Olan Sonuç: (p \Rightarrow 0) \equiv 1 \implies p \equiv 0
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bileşik Önermenin Doğruluk Değerlerini Belirleme
(p \Rightarrow r) \Rightarrow q' \equiv 0 olarak verilmiştir.
İse bağlacının sonucunun 0 (yanlış) olması için birinci kısmın 1, ikinci kısmın 0 olması gerekir:
- q' \equiv 0 \implies q \equiv 1
- p \Rightarrow r \equiv 1
Adım 2 — r ve p Önermelerinin Değerini Bulma
- Evlerin kapı numaraları \{1, 3, 5, 7, 9\} kümesindedir ve hepsi tek sayıdır.
- r önermesi: “Kapı numarası çift sayıdır.” ifadesi her ev için yanlış olduğundan r \equiv 0 olur.
- p \Rightarrow r \equiv 1 denkliğinde r \equiv 0 yerine yazılırsa:
p \Rightarrow 0 \equiv 1 \implies p \equiv 0
bulunur.
Adım 3 — Önermelerin Doğruluk Durumlarına Göre Evi Tespit Etme
- q \equiv 1 (Doğru): “Pembe renkte değildir.” \implies Ev gri renktedir. Sokaktaki gri evler 3 ve 9 numaralı evlerdir.
- p \equiv 0 (Yanlış): “İki ağacın arasındadır.” önermesi yanlıştır. Yani Ayten’in evi iki ağacın arasında değildir.
- İki ağaç arasında bulunan evler 3 ve 5 numaralı evlerdir. Dolayısıyla ev numarası 3 olamaz.
- Gri renkte olan ve ağaçların arasında bulunmayan ev 9 numaralı evdir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E şıkkı (9)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. İse (\Rightarrow) Bağlacı Koşullu Önermesi
- Tanım: 1 \Rightarrow 0 \equiv 0 durumu hariç diğer tüm durumlarda doğruluk değeri 1 olan mantık bağlacıdır.
- Bu problemde: (p \Rightarrow r) \Rightarrow q' \equiv 0 denkliğini çözerek q \equiv 1 ve p \Rightarrow r \equiv 1 şartlarına ulaşılmasında kullanılmıştır.
2. Önermelerin Doğruluk Analizi
- Tanım: Sözel durumların doğru (1) veya yanlış (0) mantıksal değerlerle eşleştirilmesidir.
- Bu problemde: Renk, konum ve kapı numarası özellikleri p, q, r önermeleri üzerinden elenerek sonuca gidilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
p \Rightarrow r \equiv 1 ifadesinden doğrudan p \equiv 1 sonucunu çıkarmak
- Yanlış: p \Rightarrow 0 \equiv 1 iken p = 1 kabul edip ağaçların arasındaki 3 numaralı evi seçmek.
- Doğru: 1 \Rightarrow 0 \equiv 0 olduğundan, sonucun 1 çıkması için p mutlaka 0 olmalıdır.
- Neden yanlış: İse bağlacında 1 \Rightarrow 0 yanlış (0) üretir; 0 \Rightarrow 0 ise doğru (1) kabul edilir.
Benzer bir mantık veya küme sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?