Aşağıda dik koordinat sisteminde pozitif gerçek sayılarda ta-
nimlı
fonksiyonun grafigi ile OABC dikdörtgeni verilmiştir.
o
B köşesi f fonksiyonunun grafiği üzerinde olup B noktasının
apsisi dir.
Buna göre OABC dikdörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 1
B) 213
D) 4
E) 6
OABC Dikdörtgeninin Alanının Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL:
Bir fonksiyon grafiği üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları (x, f(x)) şeklindedir. Dik koordinat sisteminde bir köşesi orijinde (O), diğer köşeleri eksenler üzerinde (A ve C) ve bir köşesi fonksiyon grafiği üzerinde (B) olan bir dikdörtgenin alanı şu formülle hesaplanır:
\text{Alan} = \text{Kısa Kenar} \times \text{Uzun Kenar} = |x| \times |f(x)|
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Fonksiyonun ve B Noktasının Belirlenmesi
Grafiği verilen fonksiyon f(x) = \frac{3}{x} olarak tanımlanmıştır. B noktası bu fonksiyonun grafiği üzerindedir ve soruda B noktasının apsisinin (x değeri) \frac{1}{12} olduğu belirtilmiştir.
Adım 2 — B Noktasının Ordinatının (y değeri) Hesaplanması
B noktasının y değerini bulmak için fonksiyonda x yerine \frac{1}{12} yazılır:
f\left(\frac{1}{12}\right) = \frac{3}{\frac{1}{12}}
Bölme işlemini yapmak için birinci sayı aynen yazılır, ikinci sayı ters çevrilip çarpılır:
f\left(\frac{1}{12}\right) = 3 \times 12 = 36
Bu durumda B noktasının koordinatları (\frac{1}{12}, 36) olur.
Adım 3 — Dikdörtgenin Kenar Uzunluklarının Tespiti
OABC bir dikdörtgen olduğuna göre:
- Yatay kenar (OA uzunluğu) B noktasının apsisine eşittir: \frac{1}{12} birim.
- Düşey kenar (OC uzunluğu) B noktasının ordinatına eşittir: 36 birim.
Adım 4 — Alan Hesabı
Dikdörtgenin alanı, bu iki kenar uzunluğunun çarpımıdır:
\text{Alan}(OABC) = OA \times OC = \frac{1}{12} \times 36
36 / 12 = 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 3 (C Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Fonksiyon Üzerindeki Nokta
- Tanım: Bir nokta bir fonksiyonun grafiği üzerindeyse, noktanın koordinatları fonksiyon denklemini sağlamak zorundadır.
- Bu problemde: B noktasının y değerini bulmak için verilen x değerini f(x) denkleminde yerine koyduk.
2. Dikdörtgenin Alanı
- Tanım: Bir dikdörtgenin alanı, birbirine dik olan iki kenarının çarpımıdır.
- Bu problemde: Koordinat eksenlerine paralel olan kenarlar bize doğrudan x ve y değerlerini vermiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
İşlem Hatası
- Yanlış: \frac{3}{\frac{1}{12}} işlemini yaparken 3 ile 12’yi çarpmak yerine bölmek.
- Doğru: Rasyonel sayılarda bölme kuralına göre payda ters çevrilip çarpılmalıdır (3 \times 12).
- Neden Yanlış: Paydadaki kesir küçük bir sayı olduğunda, sonuç pay kısmındaki sayıdan daha büyük çıkmalıdır.
Bu tür grafik sorularında alanın x \cdot f(x) çarpımına eşit olduğunu fark ettin mi? Benzer bir “ters orantı fonksiyonu” sorusu üzerinde pratik yapmak ister misin?