Aşağıda çevresi verilen dikdörtgenlerin kenar uzunlukları doğal sayı olacak şekilde çizilebilecek farklı dikdörtgen sayısı ikidir?
Önemli Noktalar
- Verilen çevre uzunluğu çift sayı olmalıdır (dikdörtgen çevresi 2*(a+b))
- Kenar uzunlukları doğal sayı yani pozitif tam sayılar
- Farklı dikdörtgen sayısı = Kenar uzunluklarının farklı (a,b) değerleri, burada (a,b) veya (b,a) aynı dikdörtgen sayılır
Çevresi verilen dikdörtgen sayısı 2 olduğunda, kenar uzunlukları doğal sayı olan kaç farklı dikdörtgen çizilebilir? sorusunun çözümü için çevre formülünü kullanıp, (a, b) çiftlerini analiz etmemiz gerekir.
İçindekiler
- Soru Analizi ve Temel Formüller
- Çözüm Adımları
- Karşılaştırma Tablosu: Farklı Çevrelere Göre Dikdörtgen Sayısı
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
1. Soru Analizi ve Temel Formüller
Bir dikdörtgenin çevresi:
$$P = 2 \times (a + b)$$
Burada, a ve b kenar uzunluklarıdır, a, b ∈ ℕ⁺ (doğal sayılar).
Çevre ve kenar uzunluklarını bildiğimizde, farklı dikdörtgen sayısı, (a,b) ikilisinden, a ≤ b koşulunu sağlayan doğal sayı çözümlerin sayısıdır (çünkü (a,b) ve (b,a) aynı dikdörtgen).
2. Çözüm Adımları
Sorunun ifadesi biraz eksik; ancak seçeneklerden yola çıkarak soruyu şöyle düzeltebiliriz:
Çevresi verilen birdikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı olacak şekilde, çizilebilecek farklı dikdörtgen sayısı 2 olduğunda çevresi kaç olur? veya
Aşağıdaki çevre değerlerinden hangisinde, kenar uzunlukları doğal sayı olarak 2 farklı dikdörtgen çizilebilir?
Adım 1: Kenarların toplamını bulalım
$$a + b = \frac{P}{2} = S$$
Burada S, a ve b’nin toplamıdır.
Adım 2: (a,b) doğal sayılar olmak üzere a + b = S
Öncelikle a,b>0 doğal olduğu için a en az 1, en fazla S-1’dir.
Farklı dikdörtgen sayısı:
- a ≤ b olduğunda a ≤ S/2
- a ∈ {1, 2, …, ⌊S/2⌋}
Dolayısıyla
$$\text{Farklı dikdörtgen sayısı} = \lfloor \frac{S}{2} \rfloor$$
Adım 3: Verilen seçeneklerde farklı dikdörtgen sayısı 2 olacak durumun bulunması:
Farklı dikdörtgen sayısı 2 ise:
$$\lfloor \frac{S}{2} \rfloor = 2 \implies \frac{S}{2} \geq 2 \text{ ve } \frac{S}{2} < 3$$
Yani,
$$4 \leq S < 6$$
Bu durumda,
- S = 4 veya S = 5 olmalıdır.
Adım 4: Çevre değerlerini hesaplayalım
$$P = 2 \times S$$
- Eğer S = 4 ise P = 8
- Eğer S = 5 ise P = 10
Adım 5: Verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
A) 4 br (Çevre çok küçük, 4/2=2 S=2, farklı dikdörtgen sayısı 1 değil)
B) 10 br (P=10)
C) 12 br (P=12)
D) 14 br (P=14)
S=5 için P=10 olduğundan en uygun seçenek B şıkkı: 10 br.
Adım 6: Test
- S=5 → a+b=5
- a=1, b=4 → dikdörtgen 1
- a=2, b=3 → dikdörtgen 2
- a=3, b=2 (aynı önceki)
- a=4, b=1 (aynı önceki)
Farklı dikdörtgen sayısı 2, doğru.
3. Karşılaştırma Tablosu: Farklı Çevrelere Göre Dikdörtgen Sayısı
| Çevre P (br) | S = P/2 | Farklı Dikdörtgen Sayısı = ⌊S/2⌋ |
|---|---|---|
| 4 | 2 | 1 |
| 10 | 5 | 2 |
| 12 | 6 | 3 |
| 14 | 7 | 3 |
4. Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Verilen çevre | 10 br |
| Kenar toplamı (S) | 5 |
| Farklı dikdörtgen sayısı | 2 |
| Farklı dikdörtgenler | (1, 4), (2, 3) |
| Formül | Farklı dikdörtgen sayısı = ⌊S/2⌋ |
5. Sık Sorulan Sorular
1. Dikdörtgenin kenar uzunlukları neden sadece doğal sayılar alınır?
Çünkü gerçek hayatta ölçülebilir pozitif uzunluklardan bahsedilir; negatif ya da sıfır olamaz. Ayrıca soru doğal sayı kısıtlaması koyuyor.
2. (a,b) ve (b,a) niçin aynı dikdörtgen sayılır?
Dikdörtgen, kenarların yan yana gelmesiyle oluşur; boyutların sırası aslında şekil değişikliğini etkilemez.
3. Çevresi verilen dikdörtgen sayısını kolayca nasıl bulabilirim?
Çevreyi 2’ye böl, çıkan sayı S için farklı (a,b) sayısı ⌊S/2⌋ kadardır.
Sonraki Adımlar
Daha karmaşık çevre değerlerinde farklı dikdörtgen sayısını nasıl bulacağınızı gösteren adım adım çözüm ister misiniz?
Dikdörtgenin çevresi verildiğinde doğal sayı kenarlar için farklı dikdörtgen sayısı kaçtır?
Temel Çıkarımlar
- Bir dikdörtgenin çevresi P ise kenar uzunlukları a,b için a+b=\tfrac{P}{2} eşitliği sağlanır.
- Doğal sayı çözümlerinin sayısı, 1\le a\le b koşuluyla a+b=S (S=\tfrac{P}{2}) denkleminin pozitif tamsayı çözümlerinin sayısına eşittir.
- Bu sayıyı kısa yoldan $$\Big\lfloor \frac{P}{4}\Big\rfloor$$ formülüyle buluruz.
İçindekiler
Genel Yaklaşım
- Çevresi P verilen dikdörtgenin alanı değil, kenar sayısı sorulmaktadır.
- P=2(a+b) olduğuna göre a+b=\tfrac{P}{2} elde ederiz.
- a,b doğal sayı ve a\le b koşuluyla, $a$’nın alabileceği değerler 1,2,\dots,\lfloor \tfrac{P/2}{2}\rfloor kadardır.
Formül Türetimi
a\le b ve a,b\in\mathbb{N} koşulunda, $a$’nın maksimum değeri
olur. Böylece farklı dikdörtgen sayısı doğrudan
formülüyle bulunur.
Örnek Hesaplama
Görseldeki P değeri net olmadığı için genel formülü veriyoruz.
- Örnek olarak P=40 birim alınırsa:
Bu durumda seçeneklerden 10 birim doğru cevaptır.
Özet Tablosu
| P (birim) | a+b=\tfrac{P}{2} | Farklı dikdörtgen sayısı \lfloor P/4\rfloor |
|---|---|---|
| 40 | 20 | 10 |
| 48 | 24 | 12 |
| 56 | 28 | 14 |
SSS
- Neden a\le b koşulu koyuyoruz?
Dikdörtgenler a\times b ile b\times a modellenir ve birbirinin aynısı sayılır; tekrar sayımı önlemek için sıra koşulu kullanılır. - a,b=0 olabilir mi?
Hayır, kenar uzunlukları doğal sayı yani en az 1 olmalıdır. - P tek olabilir mi?
Dikdörtgen çevresi her zaman çift sayıdır; P tek verilirse çözüm doğal sayılarda mümkün olmaz. - Başka çözüm yöntemi var mı?
Eşitlikleri manuel sayıp listelemek dışında, en hızlı formül $\lfloor P/4\rfloor$’tür.
Bir sonraki adım olarak görseldeki tam çevre uzunluğunu (örneğin 40, 48, 56 br gibi) paylaşabilir misiniz? Böylece doğru seçeneği kesinleştirebiliriz.
@Dkfkc