Aşağıda cebrisel gösterimi verilen gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların grafikleri f:R-R f(x)=x şeklinde tanımlı f doğrusal referans fonksiyonunun grafikğine uygun dönüşümleri yaparak çiziniz
a) g(x)=-x
b)h(x)=3x-4
c)m(x)=2x-2÷3
ç)n(x)=-4x-11÷5
Aşağıda cebrisel gösterimi verilen gerçek sayılarda tanımlı fonksiyonların grafikleri f:R→R, f(x)=x şeklinde tanımlı f doğrusal referans fonksiyonunun grafikine uygun dönüşümleri yaparak çiziniz:
a) g(x) = -x
b) h(x) = 3x - 4
c) m(x) = \frac{2x - 2}{3}
ç) n(x) = \frac{-4x - 11}{5}
Cevap:
Bu soruda, temel doğrusal fonksiyon olan f(x) = x fonksiyonunun grafiği referans alınarak, verilen fonksiyonların grafiklerini uygun dönüşümlerle çizmeniz isteniyor. Her fonksiyon, f(x) = x grafiğine uygulanan doğrusal dönüşümler (yani eğim ve y-kesişim değişiklikleri) ile elde edilir.
İçindekiler
1. Referans Fonksiyon ve Grafiği
- Referans fonksiyonumuz f(x) = x doğrusal fonksiyonudur.
- Grafiği, orijinden geçen ve eğimi 1 olan bir doğru şeklindedir.
- Bu doğru, y = x doğrusudur.
2. Fonksiyonların Dönüşüm Analizi
Her fonksiyon f(x) = x fonksiyonunun grafiğine uygulanan bir dönüşüm olarak düşünülebilir. Genel doğrusal fonksiyon formu:
$
y = a x + b
$
Burada:
- a eğimi belirtir (doğrunun diklik veya eğiklik katsayısı),
- b ise y-kesişimidir (doğrunun y eksenini kestiği nokta).
a) g(x) = -x
- Eğim a = -1,
- Y-kesişimi b = 0.
Yorum:
Grafik, f(x) = x doğrusunun yansımasıdır. Yani, orijine göre simetriktir ve eğimi negatiftir. Grafik, orijinden geçer ve sola doğru eğimlidir.
b) h(x) = 3x - 4
- Eğim a = 3,
- Y-kesişimi b = -4.
Yorum:
Grafik, f(x) = x doğrusuna göre daha dik (eğim 3 kat daha büyük) ve y eksenini -4 noktasında keser. Yani, grafik aşağı doğru 4 birim kaydırılmıştır.
c) m(x) = \frac{2x - 2}{3} = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3}
- Eğim a = \frac{2}{3},
- Y-kesişimi b = -\frac{2}{3}.
Yorum:
Grafik, f(x) = x doğrusuna göre daha az dik (eğim 2/3) ve y eksenini -\frac{2}{3} noktasında keser. Grafik, aşağı doğru yaklaşık 0.67 birim kaymıştır.
ç) n(x) = \frac{-4x - 11}{5} = -\frac{4}{5}x - \frac{11}{5}
- Eğim a = -\frac{4}{5},
- Y-kesişimi b = -\frac{11}{5} = -2.2.
Yorum:
Grafik, f(x) = x doğrusunun yansıması gibi negatif eğimlidir, eğimi -\frac{4}{5} ve y eksenini -2.2 noktasında keser. Grafik, orijinden aşağı doğru 2.2 birim kaymıştır.
3. Grafiklerin Çizimi ve Yorumları
Her fonksiyonun grafiğini çizmek için:
- Adım 1: Referans fonksiyon f(x) = x grafiğini çizin (orijinden geçen 45° eğimli doğru).
- Adım 2: Eğim ve y-kesişim değerlerine göre grafiği dönüştürün.
- Adım 3: İki nokta belirleyip doğrunuzu çizin.
Örnek Grafik Noktaları
| Fonksiyon | Eğim (a) | Y-kesişimi (b) | Nokta 1 (x_1, y_1) | Nokta 2 (x_2, y_2) |
|---|---|---|---|---|
| g(x) = -x | -1 | 0 | (0, 0) | (1, -1) |
| h(x) = 3x - 4 | 3 | -4 | (0, -4) | (1, -1) |
| m(x) = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3} | \frac{2}{3} | -\frac{2}{3} | (0, -\frac{2}{3}) | (3, 2) |
| n(x) = -\frac{4}{5}x - \frac{11}{5} | -\frac{4}{5} | -\frac{11}{5} | (0, -\frac{11}{5}) | (5, -7) |
4. Özet Tablosu
| Fonksiyon | Eğim (a) | Y-kesişimi (b) | Grafik Özelliği |
|---|---|---|---|
| g(x) = -x | -1 | 0 | Orijine göre yansıma, negatif eğim |
| h(x) = 3x - 4 | 3 | -4 | Daha dik, y ekseninden aşağı kaymış |
| m(x) = \frac{2}{3}x - \frac{2}{3} | \frac{2}{3} | -\frac{2}{3} | Daha az dik, y ekseninden aşağı kaymış |
| n(x) = -\frac{4}{5}x - \frac{11}{5} | -\frac{4}{5} | -\frac{11}{5} | Negatif eğim, y ekseninden aşağı kaymış |
Sonuç
- f(x) = x fonksiyonu temel alınarak, her fonksiyonun grafiği eğim ve y-kesişim değerlerine göre uygun şekilde dönüştürülür.
- Negatif eğim yansıma anlamına gelir.
- Y-kesişimleri grafiğin y eksenini kestiği noktayı gösterir.
- Eğim büyüdükçe grafik daha dik, küçüldükçe daha yatay olur.
Eğer grafik çizim programı kullanıyorsanız, yukarıdaki noktaları işaretleyip doğruyu çizmek kolay olacaktır. El ile çizim yaparken de bu iki noktayı kullanarak doğruyu belirleyebilirsiniz.