Aşağıda birimkare cinsinden alanları birbirine eşit olan dikdörtgen ve üçgen şeklinde iki kâğıt verilmiştir.
Bu iki kâğıt üçgen şeklindeki kâğıdın yönü değiştirilmeden aşağıdaki gibi birer kenarları çakıştırılarak iki farklı şekilde üst üste yerleştirilmiştir.
Buna göre dikdörtgen şeklindeki kâğıdın bir yüzünün alanı kaç birimkaredir?
A) 5 \cdot 2^{15}
B) 2^{17}
C) 3 \cdot 2^{16}
D) 2^{19}
Üçgen ve Dikdörtgende Alan Bağıntıları ile Üslü İfadeler
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Tabanı a ve bu tabana ait yüksekliği h olan bir üçgenin alanı \text{Alan} = \dfrac{a \cdot h}{2}, kenar uzunlukları a ve b olan dikdörtgenin alanı ise \text{Alan} = a \cdot b formülü ile hesaplanır. Alanları eşit ve birer kenarları ortak olan geometrik şekillerde yükseklikler arasında doğrudan bir oran kurulabilir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Şekillerin Boyutlarını ve Alan Eşitliğini Belirleme
Dikdörtgenin uzun kenarına a, kısa kenarına b diyelim. 1. şekilde üçgenin taban kenarı ile dikdörtgenin uzun kenarı (a) tamamen çakışmıştır. Üçgenin yüksekliği h olsun:
\text{Alan}_{\text{dikdörtgen}} = a \cdot b \quad \text{ve} \quad \text{Alan}_{\text{üçgen}} = \frac{a \cdot h}{2}
Alanlar birbirine eşit olduğundan:
a \cdot b = \frac{a \cdot h}{2} \implies h = 2b
Adım 2 — Yükseklik Farklarından b ve h Değerlerini Bulma
- şekilde üçgenin tepe noktası, tabanları çakışık olan dikdörtgenin üst kenarından 4^4\text{ br} taşmaktadır:
h - b = 4^4 = (2^2)^4 = 2^8\text{ br}
h = 2b eşitliğini yerine yazarsak:
2b - b = 2^8 \implies b = 2^8\text{ br}
h = 2 \cdot 2^8 = 2^9\text{ br}
Adım 3 — 2. Şekilden Uzun Kenar a’yı ve Dikdörtgenin Alanını Hesaplama
2. şekilde dikdörtgen dikey konulmuş (yüksekliği a) ve tabanları aynı hizada çakıştırılmıştır. Dikdörtgen, üçgenin tepe noktasından 2^7\text{ br} daha yüksektir:
a - h = 2^7 \implies a = 2^9 + 2^7 = 2^7 \cdot (2^2 + 1) = 5 \cdot 2^7\text{ br}
Dikdörtgenin bir yüzünün alanı:
\text{Alan} = a \cdot b = (5 \cdot 2^7) \cdot 2^8 = 5 \cdot 2^{7+8} = 5 \cdot 2^{15}\text{ br}^2
CEVAP: A) 5 \cdot 2^{15} (\text{Alan} = 5 \cdot 2^{15}\text{ br}^2)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI:
Aynı tabana sahip bir üçgen ile bir dikdörtgenin alanlarının eşit olması, üçgenin yüksekliğinin dikdörtgenin yüksekliğinin daima 2 katı (h = 2b) olması anlamına gelir. Bu pratik kural, üslü ifadelerle işlem yaparken bilinmeyen sayısını doğrudan teke indirir.