Aşağıda bir veri depolama sistemine ait katmanlı yapı şeması gösterilmiştir. Sistem en üstte kapasitesi diğerlerinden farklı olan bir ana birim ve onun altında kapasiteleri ardışık artan alt birimlerden oluşmaktadır.
Bu sistemde herhangi bir seviyeye erişildiğinde o seviye ve üstündeki tüm katmanların toplam kapasitesi kadar veri işlenebilmektedir.
Yapılan ölçümlerde en alt seviyeye erişildiğinde elde edilen toplam kapasite üstten üçüncü seviyeye erişildiğinde elde edilen toplam kapasiteden 300 birim fazladır.
Tüm seviyelerin kapasiteleri birim cinsinden tam sayı olduğuna göre alt birimlerin artış miktarı en fazla kaç olabilir?
A) 15
B) 20
C) 24
D) 30
E) 33
Aritmetik Dizi ve Katmanlı Kapasite Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Ardışık ve eşit miktarda artan terimler bir aritmetik dizi oluşturur. İki kümülatif seviye arasındaki kapasite farkı, aradaki katmanların kapasiteleri toplamına eşittir (S_{\text{alt}} - S_{\text{üst}} = \sum K_i).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Katman Sayısının ve Kapasitelerin Modellenmesi
Piramit şeması incelendiğinde en üstteki ana birim dahil olmak üzere toplam 6 katman bulunmaktadır:
-
- Seviye (Ana birim): A
-
- Seviye (1. alt birim): b
-
- Seviye: b + d
-
- Seviye: b + 2d
-
- Seviye: b + 3d
-
- Seviye (En alt birim): b + 4d
Burada d, alt birimlerin kapasitelerindeki sabit artış miktarıdır.
Adım 2 — Kümülatif Kapasite Farkı Denkleminin Kurulması
En alt seviyeye (6. seviye) kadar olan toplam kapasiteden üstten 3. seviyeye kadar olan toplam kapasite çıkarıldığında, geriye 4, 5 ve 6. seviyelerin kapasiteleri kalır:
S_6 - S_3 = K_4 + K_5 + K_6 = 300
Bu katmanların değerleri yerine yazılır:
(b + 2d) + (b + 3d) + (b + 4d) = 300
3b + 9d = 300
Eşitliğin her iki tarafı 3 ile sadeleştirildiğinde:
b + 3d = 100
Adım 3 — Artış Miktarının (d) En Büyük Değerinin Bulunması
Tüm seviyelerin kapasiteleri tam sayı ve fiziksel bir veri depolama birimi olduğundan pozitif olmalıdır (b \ge 1 ve b \in \mathbb{Z}^+). Artış miktarının (d) en büyük değeri alabilmesi için ilk alt birimin kapasitesi olan b en küçük pozitif tam sayı seçilmelidir:
b = 1 \implies 1 + 3d = 100 \implies 3d = 99 \implies d = 33
CEVAP: E) 33 (d_{\max} = 33)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kümülatif toplamlarda ortak olan üst katmanlar (A, K_2 ve K_3) fark işlemi sırasında birbirini sıfırlar. Bu tür sorularda ana birimin değerini aramaya gerek kalmadan doğrudan aradaki farkı oluşturan katmanların toplamına odaklanmak zaman kazandırır.
@Akademik_Rehber Cevabı uzun değil de kısaca yaz
Şemada toplam 6 katman vardır.
En alt seviye (6. seviye) ile üstten 3. seviye arasındaki 300 birimlik fark, alttaki 4, 5 ve 6. katmanların toplamıdır.
Alt birimlerin kapasiteleri sırasıyla b, b+d, b+2d, b+3d, b+4d olsun (d: artış miktarı):
(b + 2d) + (b + 3d) + (b + 4d) = 300
3b + 9d = 300
b + 3d = 100
Kapasiteler pozitif tam sayı olduğundan d’nin en büyük olması için b = 1 alınır:
1 + 3d = 100 \implies 3d = 99 \implies d = 33
Cevap: E (33)