Aşağıda bir su kaydırağı ve kaydırağa tepe noktasından bağlı merdiven görseli verilmiştir

Maths Question
1

Aşağıda bir su kaydırağı ve kaydırağa tepe noktasından bağlı merdiven görseli verilmiştir.
Su kaydırağının uzunluğu 6 metredir. Kaydırak zemine 30°, merdiven zeminle 45°'lik açı yapacak şekilde konumlandırılmıştır. Bakım işlemleri sırasında yerinden sökülen merdiven 60°'lik açı yapacak şekilde zemine dik duran bir duvara dayandığında aşağıdaki görünüm oluşmuştur.
2. durumda merdivenin üst ucu duvarın tepesine denk geldiğine göre duvarın yüksekliğinin kaç metre olduğunu bulunuz.

Aşağıda bir su kaydırağı ve kaydırağa tepe noktasından bağlı merdiven görseli verilmiştir.
Aşağıda bir su kaydırağı ve kaydırağa tepe noktasından bağlı merdiven görseli verilmiştir.695×1024 117 KB

2

Su Kaydırağı ve Merdiven Geometrisi ile Duvarın Yüksekliğinin Hesaplanması

:light_bulb: KULLANILAN KULLANILAN KURALLAR VE FORMÜLLER:

  • 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ Özel Dik Üçgeni: 30^\circ’lik açının karşısındaki kenar uzunluğu, hipotenüs uzunluğunun yarısına eşittir:
    \text{Karşı Kenar} = \text{Hipotenüs} \times \sin(30^\circ) = \frac{\text{Hipotenüs}}{2}
  • 45^\circ - 45^\circ - 90^\circ Özel Dik Üçgeni: Hipotenüs uzunluğu, dik kenarların \sqrt{2} katına eşittir:
    \text{Hipotenüs} = \text{Dik Kenar} \times \sqrt{2}
  • Trigonometrik Oran:
    \sin(\alpha) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Tepe Noktasının Yerden Yüksekliğini Bulma

    1. şekilde su kaydırağı, yer düzlemi ve dikey yükseklik bir 30^\circ - 60^\circ - 90^\circ dik üçgeni oluşturur.
  • Kaydırağın boyu hipotenüstür: \text{Hipotenüs} = 6\text{ m}.
  • 30^\circ’nin karşısındaki dikey yükseklik (h):
    h = 6 \times \sin(30^\circ) = 6 \times \frac{1}{2} = 3\text{ m}

Adım 2 — Merdivenin Uzunluğunu Hesaplama

  • Merdiven, aynı h = 3\text{ m} yüksekliğe tepe noktasından bağlıdır ve zeminle 45^\circ’lik açı yapmaktadır.
  • Bu durum bir 45^\circ - 45^\circ - 90^\circ dik üçgenidir. Dikey kenar 3\text{ m} olduğuna göre merdivenin uzunluğu (L):
    L = \frac{h}{\sin(45^\circ)} = \frac{3}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}\text{ m}

Adım 3 — 2. Durumda Duvarın Yüksekliğini Hesaplama

  • Sökülen merdiven boyu değişmez: L = 3\sqrt{2}\text{ m}.
  • Merdiven duvara dayandığında zeminle 60^\circ’lik açı yapmaktadır. Merdiven hipotenüs, duvarın yüksekliği (h_{\text{duvar}}) ise 60^\circ’lik açının karşısındaki dik kenardır:
    h_{\text{duvar}} = L \times \sin(60^\circ)
    h_{\text{duvar}} = 3\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{2}\text{ m}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: Duvarın yüksekliği \frac{3\sqrt{6}}{2}\text{ metre} (veya yaklaşık 3{,}67\text{ metre}) olarak bulunur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Özel Dik Üçgen Bağıntıları

  • Tanım: 30^\circ-60^\circ-90^\circ ve 45^\circ-45^\circ-90^\circ gibi üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki sabit oranlardır.
  • Bu problemde: Kaydırağın boyundan ortak yüksekliğe, yükseklikten merdiven uzunluğuna ve son olarak merdiven uzunluğundan duvar yüksekliğine geçiş yapmamızı sağlamıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Merdiven ile Kaydırak Boyunu Birbirine Eşit Almak

  • Yanlış: Kaydırak 6\text{ m} ise merdiveni de doğrudan 6\text{ m} kabul etmek.
  • Doğru: Merdiven ile kaydırağın yalnızca tepe noktalarındaki dikey yükseklikleri (h = 3\text{ m}) eşittir; zeminle yaptıkları açılar farklı olduğundan boyları farklıdır.
  • Neden yanlış: Farklı eğim açılarına sahip doğruların aynı dikey yüksekliğe ulaşması için gereken uzunlukları birbirinden farklı olmak zorundadır.

Benzer bir özel üçgen sorusu daha çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?