Aşağıda bir sinemadaki bilet fiyatları gösterilmiştir.
180 kişilik salon tam olarak dolmuş ve öğrenci biletlerinden elde edilen gelirin üçte ikisi, normal biletlerden elde edilen gelirin yarısından fazladır.
Buna göre, bu salondaki öğrenci bileti olanların sayısı, normal bileti olanlardan en az kaç fazladır?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
Birinci Dereceden Eşitsizlikler ve Sayı Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Toplam kişi sayısı ve bilet gelirleri üzerinden kurulan birinci dereceden eşitsizliklerde, kişi sayıları birer pozitif tam sayı olmak zorundadır. Farkın en küçük değerini bulmak için eşitsizliği sağlayan en küçük tam sayı değeri belirlenir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Değişkenlerin ve Gelirlerin Belirlenmesi
Görseldeki bilet fiyatlarına göre; öğrenci bileti 120 TL, normal bilet 180 TL’dir. Salondaki toplam koltuk sayısı 180 olduğundan, öğrenci bileti alan kişi sayısına x dersek normal bilet alan kişi sayısı y = 180 - x olur.
\text{Öğrenci Geliri} = 120x, \quad \text{Normal Gelir} = 180(180 - x)
Adım 2 — Eşitsizliğin Kurulması ve Çözümü
Öğrenci biletlerinden elde edilen gelirin \frac{2}{3}'si, normal biletlerden elde edilen gelirin \frac{1}{2}'sinden fazladır:
\frac{2}{3} \cdot 120x > \frac{1}{2} \cdot 180(180 - x)
80x > 90(180 - x)
Her iki tarafı 10’a bölüp parantezi dağıtalım:
8x > 1620 - 9x \implies 17x > 1620
x > \frac{1620}{17} \approx 95{,}29
x bir kişi sayısı (tam sayı) olduğundan x’in alabileceği en küçük değer x = 96 olur.
Adım 3 — Bilet Sayıları Arasındaki Farkın Hesaplanması
x = 96 iken normal bilet sayısı y = 180 - 96 = 84 bulunur. Öğrenci sayısının normal bilet sayısından farkı:
x - y = 96 - 84 = 12
CEVAP: C) 12 (x - y = 12)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kişi sayısı, adet ve bilet gibi reel durum problemlerinde elde edilen kesirli sınır değerinden sonra gelen en küçük tam sayıyı seçmek ve iki değişken arasındaki farkın (2x - 180) daima çift sayı ürettiğine dikkat etmek işlem hatası yapmanızı önler.