Aşağıda bir marketin çikolata reyonunda birbirinden farklı beşer tane çikolatanın bir adedinin fiyatını gösteren etiketler verilmiştir.
Bu reyondan 3 adet çikolata almak isteyen İzem, ödeyeceği ücretin 100 TL’den az olmasını istemektedir. Buna göre İzem bu 3 çikolatayı kaç farklı şekilde seçebilir?
A) 240
B) 180
C) 170
D) 168
E) 132
Kombinasyon ile Fiyat Koşullu Çikolata Seçimi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
n elemanlı bir kümeden r eleman seçme (kombinasyon) formülü:
C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Reyonda 4 farklı fiyat grubunda beşer adet farklı çikolata bulunmaktadır:
- 20\text{ TL}'lik çikolatalar: 5\text{ adet}
- 30\text{ TL}'lik çikolatalar: 5\text{ adet}
- 50\text{ TL}'lik çikolatalar: 5\text{ adet}
- 60\text{ TL}'lik çikolatalar: 5\text{ adet}
Seçilecek 3 adet çikolatanın toplam tutarının 100\text{ TL}'den az (< 100\text{ TL}) olması istenmektedir.
Adım 1 — Toplamı 100\text{ TL}'den Az Olan Fiyat Kombinasyonlarını Belirleme
Fiyatların toplamı 100\text{ TL}'den küçük olan tüm (p_1, p_2, p_3) durumları:
- (20\text{ TL}, 20\text{ TL}, 20\text{ TL}) \implies 20 + 20 + 20 = 60\text{ TL} < 100\text{ TL}
- (20\text{ TL}, 20\text{ TL}, 30\text{ TL}) \implies 20 + 20 + 30 = 70\text{ TL} < 100\text{ TL}
- (20\text{ TL}, 30\text{ TL}, 30\text{ TL}) \implies 20 + 30 + 30 = 80\text{ TL} < 100\text{ TL}
- (20\text{ TL}, 20\text{ TL}, 50\text{ TL}) \implies 20 + 20 + 50 = 90\text{ TL} < 100\text{ TL}
- (30\text{ TL}, 30\text{ TL}, 30\text{ TL}) \implies 30 + 30 + 30 = 90\text{ TL} < 100\text{ TL}
(Not: 20 + 20 + 60 = 100\text{ TL} ve 20 + 30 + 50 = 100\text{ TL} durumları 100\text{ TL}'ye eşit olduğundan “< 100” koşulunu sağlamaz ve dahil edilmez.)
Adım 2 — Her Durum İçin Seçim Sayılarını Hesaplama
-
Durum 1: 3 tane 20\text{ TL}'lik çikolata seçimi
\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10\text{ farklı şekilde} -
Durum 2: 2 tane 20\text{ TL}'lik, 1 tane 30\text{ TL}'lik çikolata seçimi
\binom{5}{2} \times \binom{5}{1} = 10 \times 5 = 50\text{ farklı şekilde} -
Durum 3: 1 tane 20\text{ TL}'lik, 2 tane 30\text{ TL}'lik çikolata seçimi
\binom{5}{1} \times \binom{5}{2} = 5 \times 10 = 50\text{ farklı şekilde} -
Durum 4: 2 tane 20\text{ TL}'lik, 1 tane 50\text{ TL}'lik çikolata seçimi
\binom{5}{2} \times \binom{5}{1} = 10 \times 5 = 50\text{ farklı şekilde} -
Durum 5: 3 tane 30\text{ TL}'lik çikolata seçimi
\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10\text{ farklı şekilde}
Adım 3 — Toplam Farklı Seçim Sayısını Bulma
10 + 50 + 50 + 50 + 10 = 170
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 170
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kombinasyon: Sıralamanın önemsiz olduğu, sadece seçimin önemli olduğu durumlarda kullanılır. Her gruptaki çikolatalar birbirinden farklı olduğu için \binom{n}{r} formülü uygulanır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: “100\text{ TL}'den az” ifadesini “en fazla 100\text{ TL}” olarak düşünüp toplamı 100\text{ TL} yapan durumları da hesaba katmak.- Doğru Yaklaşım: “100\text{ TL}'den az” dendiği için toplamı kesinlikle 99\text{ TL} ve daha altında kalan (en büyük 90\text{ TL}) durumlar listelenmelidir.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir pekiştirme sorusu çözmek ister misin?