Aşağıda, bir kenar uzunluğu 4 birim olan ABCD karesi biçimindeki fayans, [EF] ve [FB] boyunca kesilerek alanları eşit olan iki parçaya ayrılıyor.
|AE| = 3 birim ve m(widehat{FBC}) = \alpha dır.
Parçalardan biri dik yamuk biçiminde olduğuna göre, \tan \alpha kaçtır?
A) \frac{6}{7}
B) \frac{3}{4}
C) \frac{7}{8}
D) \frac{7}{9}
E) \frac{8}{9}
Kare ve Dik Yamukta Alan ile Trigonometrik Oranlar
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Dik yamuğun alanı \text{Alan} = \frac{a + c}{2} \cdot h formülüyle hesaplanır. Dik üçgende bir açının tanjant değeri ise karşı dik kenar uzunluğunun komşu dik kenar uzunluğuna oranına (\tan \alpha = \frac{\text{Karşı}}{\text{Komşu}}) eşittir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Parçaların Alanını ve Dik Yamuğu Belirleme
Kenar uzunluğu 4 birim olan ABCD karesinin toplam alanı 4 \times 4 = 16\text{ birim}^2 olur. Kare iki eşit alana ayrıldığından oluşan parçalardan her birinin alanı $8\text{ birim}^2$dir. ABFE dörtgeninin bir dik yamuk olması için [EF] \parallel [AB] olmalıdır; dolayısıyla yükseklik |AE| = 3 birim ve taban |AB| = 4 birimdir.
\text{Alan}(ABFE) = \frac{|AB| + |EF|}{2} \cdot |AE| = 8
Adım 2 — [EF] Taban Uzunluğunu Bulma
Yamuk alan formülünden [EF] uzunluğu çekilir:
\frac{4 + |EF|}{2} \cdot 3 = 8 \implies 4 + |EF| = \frac{16}{3} \implies |EF| = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}\text{ birim}
Adım 3 — \tan \alpha Değerini Hesaplama
F noktasından [BC] kenarına dikme indirilip dikme ayağına H noktası denirse, FHB bir dik üçgen olur (\angle FHB = 90^\circ):
- |HB| = |AE| = 3\text{ birim}
- |FH| = |AB| - |EF| = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\text{ birim}
\widehat{FBC} açısı doğrudan bu dik üçgenin dar açısı (\alpha) olduğundan:
\tan \alpha = \frac{|FH|}{|HB|} = \frac{\frac{8}{3}}{3} = \frac{8}{9}
CEVAP: E) \frac{8}{9} (\tan \alpha = \frac{8}{9})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Bir çokgenin “dik yamuk” olduğu belirtildiğinde, karenin dik kenarlarından yararlanarak kesim çizgisinin kenara paralelliği doğrudan görülmeli; ardından trigonometrik oran için dik kenara dikme indirilerek temel dik üçgen oluşturulmalıdır.